奇异值分解

奇异值分解（SVD, singular value decomposition）是对矩阵最好的分解形式（前面介绍过矩阵的LU分解，对角化分解），它将某个矩阵A分解为正交矩阵（orthogonal matrix），对角矩阵（diagonal matrix）和正交矩阵相乘的形式，A可以是任意类型的矩阵，即任意矩阵都可进行这种奇异值分解。以前曾介绍过矩阵的对角化分解形式为，对于正定矩阵，由于一定满足对称性，因此其特征向量是正交的（见对称矩阵及正定性），且由正交向量组成的正交矩阵Q满足；又由于正定性，因此一般的 矩阵变为正的 矩阵，最终正定矩阵的对角化形式为 ，这正是正定矩阵的奇异值分解：正交阵乘对角阵再乘正交阵，只不过正定阵不需要两个正交阵，只要一个正交阵Q就能完成分解，但是对于其他一般的矩阵，就无法再通过 找到其奇异值分解的形式了，因为它们的特征向量矩阵不再是正交矩阵。

              记矩阵A的奇异值分解形式为 ，其中U,V是正交阵， 是对角阵，前面曾介绍过矩阵的4个子空间，这里可将矩阵的奇异值分解往A的4个子空间上靠， ，如果V是A行空间中的标准正交基向量构成的正交阵，U是A列空间中的标准正交基向量构成的正交阵，则奇异值分解的意思就是在行空间中找到标准正交向量v1,v2…,vn，经过矩阵A变换到列空间中的标准正交向量，记为u1,u2…,un，即 ，则

那么如何求这些矩阵呢？要到行空间和列空间中找一组标准正交基向量当然是不难的，因为可从两个空间的任意一组基向量开始，经过Graham Schmidt正交化方法，得到一组标准正交基，但关键是找出的标准正交基向量不一定满足上面的等式，即行空间中标准正交向量组成的正交矩阵乘以A不一定得到的矩阵还是正交的，所以要用另外的方法寻找这样两组特殊的正交向量。对于 ，两端同时乘，得到 ，V是一个正交阵（对于正交阵有），因此可得 ，式子中包含了两个正交阵，为了使问题得到简化，首先做些处理，将U消去，使式子只留下V以便先求出V，处理如下： ，虽然A可以是长方矩阵（rectangular matrix，即不是方阵），但一定是对称方阵，上式中 仍然是对角阵，只不过对角线上的元素变成 ，由于是对称矩阵，对比对称矩阵的分解形式 （对称矩阵的特征向量是垂直的，因此由特征向量组成的矩阵是正交矩阵），可知V就是的特征向量矩阵，中间的对角阵是的特征值，且这些特征值都是平方形式，说明ATA的特征值大于等于0，所以至少是正定矩阵或半正定矩阵，这样我们就找到了求V和 的方法：求出的特征值和特征向量，标准化的特征向量组成的矩阵就是V，特征值的正平方根得到 。应用类似的方法来求矩阵U，只不过现在是用：

V被消去，只剩下U，同样可得U是的标准化特征向量矩阵，  是的特征值的正平方根。由上面的分解式可看出和的特征值完全一样，这是一定的，因为有结论：AB的特征值与BA的特征值相同，即如果改变相乘顺序，特征值保持不变，因此无论是用还是都可求出由特征值组成的对角阵，现在举个具体的例子来巩固一下奇异值分解的过程。

假设A=  ，这个矩阵可逆，所以秩为2，第一步要计算， ，其特征向量为  ，对应的特征值分别为32，18，因此。现在要求U，一种方法是，既然知道了式子中的其余部分，可以将它们代入原式从而求出U，但这里仍采用的方法来求U。

，恰好是个对角矩阵，很容易求其特征向量和特征值，特征值就是对角线元素32,18，对应的特征向量是 ，和的特征值完全相同，这验证了上面AB的特征值与BA的特征值相同的结论， 。所以最终得到A的奇异值分解形式为：

但是仔细计算一下上面的式子，发现三个矩阵相乘并不等于A，-3和3的地方出现了符号错误，发生这种错误的原因就在于我们只知道U和V分别是和的单位特征向量矩阵，但各特征向量的符号我们并不知道，假如 是特征向量，那么 一定也是特征向量，上面V的第二列向量刚好符号选的不对，因此就暴露了这个问题，因为对于所有的特征向量我们都不知道它的符号，因此通常的做法是先固定好一些量，剩下的量再进行符号调整，例如这里先固定好U，认为其等于 就是对的，中间的对角阵符号无异议，一定都是正值，然后再根据A的符号调整V的符号，由于这里发现3和-3符号不对，因此应将V第二列的特征向量取反，使得V变为 ，即A正确的奇异值分解形式为：

接下来举个奇异矩阵的例子，假如A= ，该矩阵的秩为1，因此A是长方矩阵，行空间和列空间都只有1维，很明显只要选择一行和一列使其变成单位向量，所以行空间的标准基向量为 ，列空间的标准基向量为 ，将U和V补充为正交矩阵： ，顺便这里插一句，由于补充的部分是分别垂直于u1,v1的，又u1，v1分别在A的列空间和行空间中，因此就分别在A的左零空间和零空间中（零空间与行空间是相互垂直的，因为Ax=0就表示A的每一行与零空间中的任意x都是垂直的，同样左零空间与列空间也是垂直的），接着再求特征值， ，该矩阵秩为1，因此一定有特征值为0（秩等于1说明此矩阵不可逆，奇异矩阵行列式为0，而特征值之积等于行列式，因此一定有特征值为0），又特征值之和等于秩（trace，矩阵对角线元素之和），因此另一个特征值为125，则矩阵A的奇异值分解为：

上面圈出的分别是左零空间和零空间中的向量，可以看到左零空间和零空间中的向量在相乘过程中乘以的都是0，因此不起作用，最终行空间和列空间才是主要的，因此奇异值分解的过程就是在线性代数的4个子空间中选出合适的基，v1…vr是A的行空间的标准正交基，是A的列空间的标准正交基，是A的零空间的标准正交基，是A的左零空间的标准正交基，因为它们是正交的，因此用它们来进行奇异值分解是合理的，并且因为这些基使得矩阵对角化了，因此需要特征值。