高等代数中行列式的计算总结

(1)首先看能不能使某行（列）的元素全相等．
(2)若在某步中出现形如

∣∣∣∣∣∣∣∗∗⋮∗∗∗⋯⋱∗∗∣∣∣∣∣∣∣，∣∣∣∣∣∣∣∗∗⋮∗∗∗⋱⋱∗∗∣∣∣∣∣∣∣

等形状，可用对角线元素将第1行（列）化为0，即可变成三角形．
(3)若出现

∣∣∣∣∣∣x1a⋮aax2⋮a⋯⋯⋯aa⋮xn∣∣∣∣∣∣

形式，则加一行一列，可化为(1)．
(4)若出现

∣∣∣∣∣∣x1b⋮bax2⋮b⋯⋯baa⋮xn∣∣∣∣∣∣

形式，则用最后一列按行列式加法分解成两个行列式：一个最后一列只有一个非零元素，另一个最后一列全相等．第一个按最后一行展开可得递推式，另一个是(1)的形式．
(5)若出现

∣∣∣∣∣∣x1a1⋮a1a2x2⋮a2⋯⋯⋯anan⋮xn∣∣∣∣∣∣，

则提取各列公因子．
(6)三线行列式

∣∣∣∣∣∣∣acb⋱⋱⋱⋱cba∣∣∣∣∣∣∣，

则先按第1行（列）展开，再按第1列（行）展开，即得递推式，是关于 Dn 的二阶差分方程，可取两个数 s,t:s+t=a,st=bc （即令 2s=a+a2−4bc−−−−−−−√,2t=a−a2−4bc−−−−−−−√ ），将 s,t 代入，再将递推式变形即可．若三线中的线内元素不同，则拼人品，此类问题可参看[1]36页136题．
(7)范德蒙型行列式：转置，辗转反侧值不变；少一行，则补一行；奇葩行，则按奇葩行展开．
(8)半循环行列式可用邻行（列）相减化为三角形．
(9)以组合数为元素的行列式，用

Ckn+Ck−1n=Ckn+1

∑k=0n(−1)kCkn=C0n−C1n+C2n−C3n+⋯+(−1)nCnn=0

∑k=0nCkn=C0n+C1n+⋯+Cnn=2n

参考文献
[1] 胡适耕, 刘先忠. 高等代数：定理, 问题, 方法 [M]. 北京: 科学出版社, 2007.