统计学习方法——朴素贝叶斯

0.写在前面

朴素贝叶斯实际上是非常简单的一种机器学习方法，我们在之前的很多地方都讲过了，所以这里我们不再阐述具体的原理，可以移步：朴素贝叶斯。
但是，对于讨论班里，争论最多的就是课后的2个习题，因此，我们重点放在这两个习题上。他们分别是：

4.1 用极大似然估计法推出朴素贝叶斯法中的概率估计公式（4.8）及公式（4.9）。
4.2 用贝叶斯估计法推出朴素贝叶斯法中的概率估计公式（4.10）及公式（4.11）。

1. 极大似然估计法

极大似然估计方法是非常常见的估计方法（MLE）。而这里的公式4.8和公式4.9分别是：

P(Y=ck)=∑i=1NI(yi=ck)N(4.8)

P(X=al|Y=ck)=∑i=1NI(xi=al,yi=ck)N(4.9)

这里的4.9我简化了一下，其实道理都是一样的，那个j只不过是表示第几个特征。
那么我们怎么推呢,首先我们来推公式4.8。
目的式： P(Y=ck)=∑i=1NI(yi=ck)N
为了方便计算，我们令 P（Y=ck）=θk,Nk=∑i=1NI(yi=ck) ,N为样本总数。

我们想求的是极大似然函数值，那么这就是求极值的问题，而这个又有一个约束条件： ∑i=1Nθi=1
于是，我们就可以使用拉格朗日乘子法来解决带有约束条件的极值问题。

不知道大家还记得拉格朗日乘子法怎么做么。首先就是把约束条件作为其中一项，然后乘以 λ 后与原函数相加，求导等于0，解方程即可。

对于这题，我们的似然函数是：

L(θk,y1,y2,...,yn)=∏i=1np(yi)=∏i=1nθNkk

取对数，称为对数似然函数，结果为： l(θk)=Ln(L(θk))=∑k=1NNkInθk

最终的拉格朗日乘子法得到的函数为 l(θk,λ)=∑k=1NNkInθk+λ(∑i=1Nθi−1)

那么求导：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂l∂θ1=N1θ1+λ=0∂l∂θ2=N2θ2+λ=0∂l∂θ3=N3θ3+λ=0⋅⋅⋅∂l∂θn=Nnθn+λ=0∑k=1nθk=1

我们先对每一个 θi 求值，然后全部加起来后，得到 λ=−N ,带入约束条件就求得我们需要的值了：

θk=NkN

P(Y=ck)=∑i=1NI(yi=ck)N

同样的，具有条件概率的写法也是如此。
我们假设： μlk=p(x=al|y=ck) ,其他的假设如上述所说。
则似然函数:

L(μ;(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn))=∏i=1Np(xi,yi)=∏l=1L∏k=1K(μlk⋅θk)Nlk

同样的，取似然估计以后，得出的结论和之前的一样，因此我们也会得出相同的结论： μlk=NlkNk 。

2. 贝叶斯估计法

对于第二题，我想，大家应该知道贝叶斯公式：

p(X=al|Y=ck)=p(X=al,Y=ck)p(Y=ck)

其实如果上下都约掉N就可得：

p(X=al|Y=ck)=∑i=1NI(xi=al,yi=ck)∑i=1NI(yi=ck)

看过这篇 语言模型的同学都会知道，这里是为了防止0概率的出现而设置的数据平滑处理：

p(X=al|Y=ck)=∑i=1NI(xi=al,yi=ck)+λ∑i=1NI(yi=ck)+Sjλ

同样的4.11也是一样可以得到，这里就不赘述了。

3. 极大似然估计与贝叶斯估计的不同。

贝叶斯估计与极大似然估计的一个主要不同就在于，贝叶斯估计有一个先验概率，而极大似然估计没有，准确说是每种可能的先验估计都相等，也就忽略了。

但是贝叶斯的先验估计也并非是一直准确的，如果对于先验估计有一个很透彻的了解，那么贝叶斯估计应当是比较好用的。但是实际上，很多情况下，我们并不知道先验概率分布，这就导致很多时候，先验概率分布也是一种猜测，猜得对了，效果好，猜的不对，效果就不好。

有的说，极大似然估计是对点估计，而贝叶斯估计是对分布估计。我觉得其实是差不多的。