树和二叉树的基本知识

树的基本知识

树是一种数据结构，是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。n=0时称为空树。在任何一个非空树中：1.有且仅有一个特定的称为根的节点；2.n>1时,其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,.....Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。

树具有的特点有：

（1）每个结点有零个或多个子结点。

（2）没有父节点的结点称为根节点，n>0时，根节点仅有一个。

（3）每一个非根结点有且只有一个父节点。

（4）除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

 

树的基本术语有：

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的“双亲”，子树的根称为该结点的“孩子”。有相同双亲的结点互为“兄弟”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

 

结点的度：结点拥有的子树的数目

树的度：树中结点的最大的度

分支结点：度不为0的结点

叶子结点：度为0的结点

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1

树的高度：树中结点的最大层次

森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

二叉树的基本知识：

每个节点最多有两个节点的树结构，两个节点分别称为左子树和右子树。

1.特点：

1.每个节点最多有两个子树

2.左子树和右子树是有顺序的，次序决不能任意颠倒。就像人的左手和右手。

3.即使树的某一节点只有一个子树，也要区分它是左子树还是右子树。

如图，下面五种树就是不同的树：

2、二叉树的性质

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2^i-1(i>=1)

性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）

性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log₂n)+1

性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1

性质5：如果对一棵具有n个节点的完全二叉树（其深度为(log₂n)+1）的节点按层级序编号（从第一层到第(log₂n)+1层，每层从左到右），对任一个节点 i （1

    （1）.如果i=1，则i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是节点i/2或（i-1）/2.

    （2）如果2i>n,则节点i无左孩子（节点i为叶节点），否则其左孩子是2i。

    （3）如果2i+1>n,则节点i无右孩子，否则其右孩子是节点2i+1。