矩阵树定理

今天学习了矩阵树定理，就是求解无向图最小生成树个数的一个东西
首先需要构造无向图的基尔霍夫矩阵，我们记为矩阵K。矩阵K满足，

$$K=D-A$$

其中D是这个无向图的度数矩阵，在对角线上值是每个点的度数，其他位置的值都是0，A是这个无向图的出入度矩阵，第 $i$ 行 $j$ 列元素表示点 $i$ 到点 $j$ 之间的边数

这个矩阵$K$，随意选择下标相同的一行一列挖去，那么剩下的行列式的值就是这个无向图的最小生成树个数。

行列式具有以下性质（针对行，列同理）

1. 交换任意两行，行列式的值乘-1
2. 如果任意两行相同，行列式的值为0
3. 行列式中某一行的系数可以提取到行列式外
4. 行列式中，某一行可以表示成两个数相加的形式，那么可以从这一行拆开，行列式的值就是拆分后两个行列式的和
5. 行列式对应矩阵做第三类初等变换，某一行乘k加到另一行，行列式的值不变

通过这些性质，我们知道了行列式的值可以使用高斯消元来求解

P4111 [HEOI2015]小 Z 的房间

这是一个矩阵树的模板题，按上述的方式建图，并且最后注意高斯消元求解行列式的时候，我们需要取mod，因此我们要使用辗转相除的方法来完成一次消元，因此整体的时间复杂度 $O(n{m}^{2}log(n))$

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
int Gcd(int a,int b){if (b == 0) return a; return Gcd(b , a%b);}
int Lcm(int a, int b){ return a/Gcd(a,b)*b;}
inline long long read(){
   long long f = 1, x = 0;char ch = getchar();
    while (ch > '9' || ch < '0'){if (ch == '-')f = -f;ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
    return x * f;
}
const int maxn = 1e3 + 10;
const LL mod = 1e9;
char s[maxn][maxn];
int id[maxn][maxn];
LL a[maxn][maxn];
int n,m,tot;
void add(int u,int v){
    a[u][v]--;
    a[v][u]--;
    a[u][u]++;
    a[v][v]++;
}
LL gauss(int n){
    LL ans = 1;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int k=i+1; k<=n; k++){
            while(a[k][i]){
                LL d = a[i][i] / a[k][i];
                for(int j=i; j<=n; j++){
                    a[i][j] = (a[i][j] - 1ll * d * a[k][j] % mod + mod) % mod;
                }
                swap(a[i],a[k]);
                ans = -ans;
            }
        }
        ans = 1ll * ans * a[i][i] % mod;
        ans = (ans + mod) % mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    n = read(),m = read(),tot = 0;   
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%s",s[i] + 1);
        for(int j=1; j<=m; j++){
            if (s[i][j] == '.'){
                id[i][j] = ++tot;
            }
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=1; j<=m; j++){
            if (s[i][j] == '.'){
                if (id[i-1][j]){
                    add(id[i-1][j],id[i][j]);
                }
                if (id[i][j-1]){
                    add(id[i][j-1],id[i][j]);
                }
            }
        }
    }   
    cout << (gauss(tot - 1) % mod + mod) % mod << endl;
    return 0;
}```