AtCoder Regular Contest 058 D.Iroha and a Grid(组合数学)

Link

https://atcoder.jp/contests/arc058/tasks/arc058_b

Description

一个H×W的矩形区域，它的左下角有一块A×B的矩形区域，要求中途不经过左下角区域，从大矩形的左上角走到右下角，求方案数；

Solution

如下图

该图是10×5的矩阵，如果不考虑左下角直接从s到t方案数为$C_{10-1+5-1}^{5-1}$，而如果考虑左下角区域，则不妨将路径分成两部分，即s到t，可先从s到a，然后a到b，b在到t，那么这样的情况下的方案数，就是s到a的方案数乘以b到t的方案数，即$C_{3-1+2-1}^{2-1}\ast C_{10-2+5-3-1}^{10-2}$种方案，然后把所有的情况以该种方式计算出来，即将所有的a和b的结果求和，剩下的就是求逆元和阶乘了。

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

#define inf 0x7f7f7f7f
#define maxn 100006
#define mod 1000000007
#define N 1
#define P 2


typedef long long ll;
typedef struct {
    int u, v, next, w;
} Edge;
Edge e[1];
int cnt, head[1];

inline void add(int u, int v,int w) {
    e[cnt].u = u;
    e[cnt].v = v;
    e[cnt].w = w;
    // e[cnt].f=f;
    e[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
    e[cnt].u = v;
    e[cnt].v = u;
    e[cnt].w = w;
    //    e[cnt].f=-f;
    e[cnt].next = head[v];
    head[v] = cnt++;
}

inline void write(int x) {
    if (x < 0)
        putchar('-'), x = -x;
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
inline ll read() {
    ll x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-')
            f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}
ll h,w,a,b,f[2*100005],inv[2*100005];

ll qpow(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
void solve(){
    f[0]=1;
    for(ll i=1;i<=h+w-2;i++){
        f[i]=(f[i-1]*i)%mod;
    }
    inv[0]=1;
    inv[h+w-2]=qpow(f[h+w-2],mod-2);
    for(int i=h+w-3;i>0;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

}
ll C(ll a,ll b){
    return f[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}

int main(){
    h=read(),w=read(),a=read(),b=read();
    solve();
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=h-a;i++){
        ll t=C(i-1+b-1,i-1)*C(h-i+w-b-1,h-i)%mod;
        res=(res+t)%mod;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}