如何根据实际问题选择一个合适的数学模型

按数学方法匹配

数学方法	问题特征
几何模型	球面积分，曲面积分，分形理论（常用）
图论模型	优化类，规划类（最短路径、最短时间），决策类问题
微分方程模型	预测人口增长，传热导热问题
概率问题	彩票
最优控制模型	药物疗效
规划论模型	投资问题
马氏链模型	概率模型（前后不关联）

按求解目标匹配

算法名称	求解目标
蒙特卡罗算法	随机模拟算法，通过计算机仿真解决问题，同时可以检验算法的正确性
数据拟合、参数估计、插值等数据处理方法	补全数据，更改错误数据
线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题	最优化问题
图论算法	最短路，网络流，二分图等算法，着色问题
动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
模拟退火法、神经网络、遗传算法	N/P问题
网格算法和穷举法	暴力解决问题
一些连续离散化方法	离散化后进行差分代替微分，求和代替积分
数值分析算法	找出数据间的内在联系
图像处理算法

建模思想

预测与预报

1、灰色预测（必掌握）

有更好的不用这个，满足两个条件用：
① 数据样本点少，6-15个② 数据呈现指数或曲线的形式

2、微分方程预测（高大上，备用）

① 不好列方程 ② 不好解方程
用到时查找历史文献，通过改变参数引用（无法找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据的速度关系，可以回推）

3、回归分析预测（必掌握）

求一个因变量与若干自变量的关系，样本点的个数有要求：
① 自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的相关性小
② 样本点的个数 N>3k+1, k 为自变量的个数
③ 因变量要符合正态分布

4、马尔可夫预测（备用）

一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间的随机性强，相互不影响；如果今天与后天没有直接关系，预测后天的温度高低的概率，只能得到概率

5、时间序列预测（必掌握）

与马尔可夫链预测互补，至少有 2 个点需要信息的传递，ARMA 模型，周期性强，季节模型（有时需要修正误差，才能应用）

6、小波分析预测（高大上）

数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据，规律性强；可以做时间序列做不出的数据。应用范围广（金融领域）

7、神经网络预测（备用）

建议作为检验方法

8、混沌预测序列（难）

评价与决策

1、模糊综合评价

评价一个对象优良中差，不能排序

2、主成分分析（必掌握）

评价多个对象的水平并排序，指标间关联性强

3、层次分析法（AHP）

作决策，比如：去哪里旅游，通过指标，综合考虑做决策

4、数据包络（DEA）分析法

优化问题，对各省发展状况作评判（投入与产出比判断）

5、秩和比综合评价法

评价各个对象并排序，指标间关联性不强

6、优劣解距离法（TOPSIS 法）

7、投影寻踪综合评价法

糅合多种算法，比如遗传算法，最优化理论等

8、方差分析、协方差分析等

方差分析：看几类数据之间有无差异
协方差分析：有几个因素，只考虑一个因素的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲及初始情况

分类与判别

1、距离聚类（系统聚类）

常用

2、关联性聚类

Q型样本，R型指标聚类常用

3、层次聚类

4、密度聚类

5、贝叶斯判别

统计判别方法，样本有两种，比如患病和不患病

6、费舍尔判别

训练的样本比较多

7、模糊识别

分好类的数据

关联与因果

1、灰色关联分析方法

样本点的个数比较少

2、Sperman 或 Kendall 等级相关分析

3、Person 相关性分析

样本点的个数比较多

4、Copula 相关

比较难，金融数学，概率密度

5、典型相关分析

例如 因变量组 Y₁₂₃₄，自变量组 X₁₂₃₄，各变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系紧密

6、标准化回归分析

若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系紧密

7、生存分析（事件史分析）难

数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响

8、格兰杰因果检验

计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没有影响

优化与控制 （运筹学）

1、线性规划、整数规划、0-1规划

有约束，确定的目标

2、非线性规划与智能优化算法

3、多目标规划和目标规划

柔性约束，目标含糊

4、动态规划

5、网格优化

多因素交错复杂

6、排队论与计算机仿真

7、模糊规划

范围约束

8、灰色规划

难

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