Educational Codeforces Round 87 c1 c2 题解(计算几何)

前置知识

#define pi acos(-1.0) 是因为 acos为cos的反函数 cos(pi)=-1

使用三角函数都要换为弧度制,角度制*pi/180=弧度制

C1. Simple Polygon Embedding

题目大意

给定一个边长为 1 的正 2n 边形,求外接正方形的最小面积,n为偶数

题目思路

Educational Codeforces Round 87 c1 c2 题解(计算几何)_第1张图片
如果您仅想象n为偶数时2n-gon的外观,就不难提出一个解决方案。 解决方案是旋转2n-gon,使它的几个边平行于正方形的边。

代码

#include
#include
#define pi acos(-1.0)
using namespace std;
int t,n;
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        n=n*2;//多少条边
        double sum=(n-2)*180;//总共多少度
        double angle=sum/(2.0*n);
        double ans=tan(angle*pi/180);
        printf("%.9f\n",ans);
    }
    return 0;
}

C2. Not So Simple Polygon Embedding

题目大意

给定一个边长为 1 的正 2n 边形,求外接正方形的最小面积,n为奇数

题目思路

Educational Codeforces Round 87 c1 c2 题解(计算几何)_第2张图片
首先,以2n-gon的最低边为水平的方式放置2n-gon。现在,我们可以不失一般性地认为正方形具有水平和垂直边,我们仅围绕其中心旋转2n角即可。如果我们将2n-gon旋转角度为π/n,则它会不变。而且,在以角度π/2n旋转之后,我们将使左右两侧垂直,并且随后的旋转是没有意义的,因为这与我们只是交换x和y坐标相同。所以我们不旋转超过π/2n
同样,我们可以看到,在旋转时,最大x和最小x之间的差异减小,而最大y和最小y之间的距离增大。答案显然是这些差异中的最大值。因此,例如,我们可以三分搜索最佳答案。
或者我们可以注意到,差异的行为是对称的(只是交换x和y坐标),所以答案是在中间角度,即我们只需要将2n-gon旋转到角度π/4n。

答案为:
ans = cos(π/4n)sin(π/2n)

证明如下
Educational Codeforces Round 87 c1 c2 题解(计算几何)_第3张图片

代码

#include
#include
#define pi acos(-1.0)
using namespace std;
int t,n;
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        double a=cos(pi/(4*n));
        double b=sin(pi/(2*n));
        printf("%.9f\n",a/b);
    }
    return 0;
}

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