一句话题解3【杭电多校】

hdu 6755 Fibonacci Sum

设 $F_k$ 为斐波那契数列的第 $k$ 项。给出 $N,C,K$，求$$(F_0{)}^K+(F_C{)}^K+(F_{2C}{)}^K+\cdots +(F_{NC}{)}^K$$对 $10^9+9$ 取模。
$N,C\le 10^{18},K\le 10^5$

注意到模 $10^9+9$ 意义下存在 $5$ 的二次剩余。直接代入通项，二项式展开后就是等比数列求和。

hdu 6756 Finding a MEX

给一个无向图，点有点权。每次修改一个点的点权，或询问与某个点相连的所有点的点权的mex。
$n,m,q\le 10^5$

把点按照度数是否大于 $\sqrt{n}$ 分类，称为小点和大点。对每个大点用分块维护mex。修改点权时，维护相连的大点的答案。询问时，小点暴力询问，大点分块询问。

hdu 6758 Integral Calculus

给出 $N$，计算

$N,T\le 10^5$

将 $\tau$ 换元成 $\frac{1}{x}$ 后，发现原式就等于$\frac{\zeta (4N)}{{\zeta }^2(2N)}$，其中$\zeta (N)$ 为黎曼zeta函数。通过$$\zeta (2n)=\frac{B_{2n}}{2(2n)!}(2\pi {)}^{2n}$$

转化为求伯努利数。时间复杂度$O(n\log n)$。

hdu 6760 Math is Simple

给出 $n$，计算$$\sum _{1\le a<b\le n,\gcd (a,b)=1,a+b\ge n}\frac{1}{ab}$$
$T\le 10^4,n\le 10^8$

令$$f_n=\sum _{1\le a<b\le n,\gcd (a,b)=1,a+b\ge n}\frac{1}{ab}$$

$$g_n=\sum _{1\le a<b\le n,\gcd (a,b)=1,a+b=n}\frac{1}{ab}$$

则$$g_n=\sum _{1\le a<n-a,\gcd (a,n)=1}\frac{1}{a(n-a)}=\frac{1}{n}\sum _{1\le a\le n,\gcd (a,n)=1}\frac{1}{a}$$

且$$f_n=f_{n-1}+g_n-g_{n-1}=f_{n-2}+g_{n-1}-g_{n-2}+g_n-g_{n-1}=\cdots =\frac{1}{2}+g_n$$

反演求出$g_n$就没了。

hdu 6761 Minimum Index

给一个字符串$S$，求$S$的每个前缀的字典序最大的后缀所在的下标。
$|S|\le 10^6,\sum |S|\le 2\ast 10^7$

把 $S$ 进行Lyndon分解成 $w_1,\cdots ,w_k$ 后，最后一个Lyndon串 $w_k$ 就是 $S$ 的最小后缀。用扩展kmp求出 $w_k$ 的每个后缀与 $w_k$ 的lcp，从后往前，设当前位置 $p$ 的lcp为 $L$，则把 $[p,p+L)$ 中未被标记的位置的答案 $p$。删去 $w_k$ 后对剩下的串重复之前的操作。时间复杂度 $O(n)$。

hdu 6764 Blood Pressure Game

给一个长度为 $n$ 的数组 $a$，定义一个数组的权值为$$\sum _{i=1}^{n-1}|a_{i+1}-a_i|$$

求在 $a$ 的每一种排列中，权值严格前 $k$ 大方案的权值，以及每种方案的方案数。
$n\le 600,k\le 20$

把 $a$ 从小到大排列得到 $b$，则 $|a_{i+1}-a_i|$ 等于 $b$ 的某些相邻段的区间和。因此可以考虑统计每一个 $b_{i+1}-b_i$ 的贡献之和。注意到 $b_{i+1}-b_i$ 贡献的系数等于有多少对 $(a_i,a_{i+1})$ 满足一个数在 $b_{i+1}$ 前面，另一个数在 $b_i$ 后面。从小到大插入 $b_i$，设 $f_{i,j,t}$ 表示插入前 $i$ 个数，组成了 $j$ 个连通块，有 $t=0/1/2$ 个数被作为 $a_1$ 或 $a_n$ 的前 $k$ 大方案以及方案数。转移时讨论新插入的数的情况，并用归并排序合并方案。

hdu 6765 Count on a Tree II Striking Back

给一棵 $n$ 个点的树，每个点有颜色。有 $m$ 次操作，每次会修改一个点的颜色，或比较两个条路径谁的颜色出现次数更多。
$m\le 500000,n\le 10000$

注意到 $k$ 个 $[0,1]$ 的随机实数的最小值的期望为 $\frac{1}{k+1}$。对于一个大小为 $k$ 的集合，如果给每个元素随机一个正整数，那么多次采样得到的平均最小值越小说明 $k$ 的值越大。

于是我们可以进行若干次采样，每次对每种颜色随机一个正整数，令每个点的点权为改颜色的权值，然后询问路径上点权最小值，并把 $k$ 次采样结果相加以粗略比较两条树链的颜色数大小。$k$ 只要取到几十即可。用全局平衡二叉树替代树链剖分可以做到一个 $\log$。

hdu 6770 Dynamic Convex Hull

给出 $n$ 个形如 $f(x)=(x-a{)}^4+b$ 的函数。要求支持 $m$ 个操作：加入一个形如 $(x-a{)}^4+b$ 的四次函数，删除一个四次函数，或询问在 $x$ 固定时所有函数的最小值。
$n,m\le 10^5$

线段树分治，将每个函数插入到线段树的 $O(\log n)$ 个节点上，然后对每个节点分别处理。考虑处理 $a_i\le x$ 时的贡献。发现若 $a_i\le a_j$ 且 $f_i(x)\le f_j(x)$，那么对于更大的 $x$ 必然也满足，也就是说将询问按照 $x$ 排序后，存在决策单调性。使用分治解决即可。
时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

hdu 6772 Lead of Wisdom

有 $n$ 件物品，每个物品有一个种类 $t_i$ 以及参数 $a_i,b_i,c_i,d_i$。从中选出若干件物品，设组成的集合为 $S$，要求每种物品最多选一件，最大化$$(100+\sum _{i\in S}{a}_i)(100+\sum _{i\in S}{b}_i)(100+\sum _{i\in S}{c}_i)(100+\sum _{i\in S}{d}_i)$$
$n,k\le 50,0\le a_i,b_i,c_i,d_i\le 100$

注意到搜索的最坏复杂度为 $O(2\ast 3^{16})$，直接搜索即可。

hdu 6773 King of Hot Pot

有 $n$ 块肉，每块肉有个出锅时间和食用时间。肉只有出锅后才能吃，每个时刻不能同时食用多块肉。对于每个 $k(1\le k\le n)$，求出若能够选择其中 $k$ 块肉来吃，最短需要多少时间才能吃完。
$n\le 300000$

来自官方题解：

注意到答案可以增量构造，即往吃 $k$ 份肉的最优解中加入一份肉可以得到吃 $k+1$ 份肉的最优解，因此存在一个顺序 $or{d}_1,or{d}_2,\cdots ,or{d}_n$，满足 $or{d}_1,or{d}_2,\cdots ,or{d}_k$ 是吃 $k$ 份肉的一个最优解吃的肉对应的集合。

假设确定了要吃哪些肉，那么肯定是按照捞出锅的时间从小到大吃。按照出锅时间从小到
大依次考虑每份肉，在 $or{d}_1,or{d}_2\cdots ,or{d}_{i-1}$ 中找到一个位置插入第 $i$ 份肉。令第 $i$ 份肉的出锅时间为 $a$，吃掉它的时间为 $b$，设 $or{d}_1,or{d}_2,\cdots ,or{d}_k$ 里按照出锅时间顺序吃掉前 $k$ 份肉所需的时间为 $t_k$，则将 $or{d}_k$ 替换成第 $i$ 份肉后，对应的方案所需的时间为 $\max (t_{k-1},a)+b$，如果 $\max (t_{k-1},a)+b<t_k$，则第 $i$ 份肉应该插在$or{d}_k$ 之前。注意到满足条件的 $k$ 是 $ord$ 序列的一个后缀，所以可以二分找到对应的位置，将第 $i$ 份肉插入 $ord$ 序列，并将后面部分的 $t$ 都修正为 $\max (t,a)+b$。

为了加速这个过程，可以用平衡树维护 $ord$ 序列，每个位置记录 $t_k$ 以及 $t_k-1$ 方便二分，在修正 $t$ 为 $\max (t,a)+b$ 时，根据 $t$ 的单调性将 $t$ 的一个区间赋值为 $a+b$，再将一个后缀加上 $b$。最后得到的 $t$ 序列就是答案。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

hdu 6791 Tokitsukaze, CSL and Palindrome Game

给一个长度为 $n$ 的字符串 $s$。定义 $E(t)$ 表示在一个空串 $h$ 中，每次等概率随机在末尾加入一个小写字母，直到 $t$ 成为 $h$ 的子串停止，$h$ 的期望长度是多少。每次询问给出 $s$ 的两个回文子串 $s_1,s_2$，比较 $E(s_1)$ 和 $E(s_2)$ 的大小。
$n,q\le 10^5$

经典结论$$E(t)=\sum _{i=1}^{|t|}{a}_i{m}^i$$

其中 $m$ 为字符集大小，$a_i=0/1$ 表示 $t$ 长度为 $i$ 的前缀是否是 $t$ 的一个 border。那么比较 $E(s_1)$ 和 $E(s_2)$，只用比较把 $s_1,s_2$ 的 border 从大到小排序后，形成序列的字典序大小。

建出 $s$ 的回文树，一个串的所有 border 就是 fail 树到根路径上的所有节点。由于每个点到根路径上的串长度必然是 $O(\log n)$ 个连续的等差数列，可以先倍增跳到两个串对应的节点，然后暴力比较每个等差数列。时间复杂度 $O((n+q)\log n)$。

hdu 6810 Imperative Meeting

有一棵 $n$ 个点的树，在上面选取 $m$ 个点作为关键点。找树上的一个点，使得所有关键点到该点的距离之和最小。求所有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ 种方案的最小距离和之和。
$n\le 10^6$

考虑计算每条边的贡献。设一侧的子树大小为 $x$，若枚举其中一边的关键点数 $i$，则贡献为$$f(s)=\sum _{i=1}^{m-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s}{m-i}\right)\cdot \min (i,m-i)$$

令$p=\lfloor \frac{m-1}{2}\rfloor$，则有$$f(s)=\sum _{i=1}^p\left(\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{i}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s}{m-i})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{m-i}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s}{i}\left)\right)\cdot i+[m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=0]\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{m/2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s}{m/2}\right)(m/2)$$

考虑如何计算括号内第一项之和$$g(s)=\sum _{i=1}^p\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s}{m-i}\right)i=s\sum _{i=1}^p\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s-1}{i-1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s}{m-i}\right)=s\cdot h(s)$$

考虑 $h(s)$ 的组合意义：将 $m-1$ 个无标号球放入 $n-1$ 个带标号盒子中，每个盒子至多放一个球，且前 $s-1$ 个盒子至多放 $p-1$ 个球的方案。当从 $s-1$ 变为 $s$ 时，新增的不合法方案数为：第 $s-1$ 个盒子放了一个球，前 $s-2$ 个盒子中恰好放置了 $p-1$ 个球。从而可以 $O(n)$ 算出所有的 $h(s)$。

时间复杂度 $O(n)$。