最短路20题心得

                                       最短路专题

最短路的三个算法：

1. dij算法，时间复杂度最低O(nlogm)，能够解决单源最短路径问题
2. Floyd算法，时间复杂度最高O(n^3)，能够解决多源最短路问题
3. Spfa算法，时间复杂度O(kE)，k在数据随机的时候只有2，最差的情况k=n

技巧：

1. 将终点视为起点进行最短路
2. 将u到v的边写成v到u的边（反边）（有时只将部分边变成反边）
3. 最短路同样可以加新的点，拆点，建权值为0或inf的边来达到某些目的
4. 有时需要考虑补图
5. 将正权值的权值写成负的权值
6. spfa可以判断正负环
7. spfa中的num[]数组记录的是每个点的入队次数，当这个次数大于等于n的时候一定存在环的原因是：对于一个点它的入度最大是n-1，一个点每次一入队一定是因为其余的点的dis数组改变，而这些改变可以来自不同的点的改变，当一个点入队n次的时候那么一定有某个点让这个点重复入队了，而第二次入队也是因为这个点出队的时候松弛了某个点，而某个点正好还能松弛这个点，所以就形成了环。根据这些我们还可以把起始点的num[s]=n-1，因为起始点只要多入队一次一定是形成了环。
8. Floyd可以通过给定权值为1来确定很多关系
9. 等级划分的题可以加一个lim的数组来表示哪些点可以在最短路中松弛
10. spfa可以被无限松弛的点不仅仅都在负环上，负环上有出边，这些出边连着的点也都是可以无限松弛的点
11. 将一些矩阵问题或者是联通性问题转化为一些特殊的最短路来解决
12. 最短路背景下边权全部为1的题不一定是最短路，因为有时最短路对于解决这种题的时间复杂度不够，这类题可以向bfs方向靠
13. 有时用到1点和n点，不一定只算最短路，要考虑点1的最小环+点n的最小环看看哪种更优
14. （不是特判的题，没有超级源点的题）用最短路来解决一些不等式问题，求1到n的最大差值，一般都是最大差值。
15. 差分约束就是根据最短路松弛以后形成的图一定都满足dis[to]<=dis[u]+val来解决不等式问题的，所以不等式一定要是B-A<=常数的形式，这时候需要对A到B连一条权值为常数的边即可，对于单纯的>或<可以通过加减1来构造等号，两边乘-1来把>变<，对于B-A==C这种可以变成B-A<=C&&A-B<=C，还需要一个超级源点来使整个图全部连通，超级源点对所有点建一条权值为0的边这样只是将解都限制在小于等0的范围内，并不影响结果（特判题）
16. 当最短路的题变难以后，最短路和网络流渐渐相似，灵魂也落在了建图上面，所以网络流中的一些建图技巧在最短路中也同样适用，类似加点，拆点，建权值为0或inf的边等等

坑点：

1. 是否有自环和重边
2. 双向边还是单向边
3. 有无负边
4. 是否是ll的数据
5. 图是否是连通图
6. 二维数组求最短路时一般初始化dis[i][i]=0;

Kuangbin专题19题

1. 普通的dij，没有任何坑点
2. 求最小生成树的最大边长
3. 求最大生成树的最小边长
4. dij从所有点到n的最短路，再从n到所有点的最短路中的最大值，将n设为起点跑一遍最短路，再将所有边反向跑一边最短路，对应的dis相加取最大值
5. spfa判负环
6. spfa判负环
7. 求距离点1的最远的点的距离，dij然后扫一遍dis数组取最大值
8. Floyd判断一头牛赢的次数+输的次数是否等于n-1
9. spfa判正环
10. 原图dij一遍，再将所有边取反dij一遍计算所有dis数组的和
11. 类似spfa的那种不等式的题意，最终求1到n的最大差值，因为没有负边直接dij最短路就是最大差值
12. dij火车和步行的建边，建好固定的火车的边，再对人和火车，火车和火车之间加步行的边
13. dij有等级之分，所以要在包含酋长的m级之内进行交易，将可交易的物品的标记，只有标记去松弛边，剩下的就是按照题意建图了
14. dij统计转弯次数，只需要将转弯的边的权值设为1，不转的权值设为0
15. Spfa有负边的最短路，判断每个点的是无法到达，还是最短路可以无限松弛，还是有正常的最短路，无法到达的点dis=inf，可以无限松弛的点可以在spfa中当一个点入队n次时从这个点dfs搜可以连接到的所有点，因为经过这个地方无限的转圈最短路一定会变小，所以都是可以无限松弛的点（可以被无限松弛的点不仅仅都在负环上，负环上有出边，这些出边连着的点也都是可以无限松弛的点）
16. dij通过对每一层加一个新的点从而达到两层之间任意点的距离是c,这时候要谨慎考虑哪些边要加正反边，哪些边加单向边，新的点要和当前层的点连单向边，当层的点和相邻层的新的点连单向边
17. 求1到n不含公共边的最短路条数，对跑出最短路的边去建边权为1的图，对1到n跑最大流（最大流最小割定理）
18. 明确题意，dij求一边1到n的最短路，min(dis[n],点1的最小环+点n的最小环)，这类题可以是不连通的，所以要去求两个最小环来比较
19. 差分约束spfa求1到n的最大差值，有负边

Hdu6252差分约束

标准的建立超级源点，用不等式来建边的板子题