线性卷积与圆周卷积

1.圆周卷积（circular convolution）

圆周卷积，也叫循环卷积，两个长度为N的有限场序列 x(n) x ( n ) 和 h(n) h ( n ) 的循环卷积定义为

即循环卷积相当于周期延拓后的序列 x˜(n) x ~ ( n ) 和 h˜(n) h ~ ( n ) 做周期卷积后再取主值区间，若x(n)和h(n)的离散傅里叶变换为 X(K) X ( K ) 和 H(K) H ( K ) ，则有

即时域中的循环卷积对应于其离散傅里叶变换的乘积，循环卷积的结果y(n)长度为N
关于圆周卷积的计算，可以看另一篇的图解计算

2.线性卷积（linear convolution）

　　通常所说的卷积就是指线性卷积，设x(n)、h(n)长度分别为M和N，则它们的线性卷积结果为

得到的y(n)长度为M+N-1,同样，根据卷积定理可以知道，时域卷积等于频域相乘

　

　

注意，现在只是频域DTFT相乘相等，而离散傅里叶变换相乘并不相等，DFT是在DTFT基础上再进行了频域采样，即对 ω ω 离散化。
　　要让线性卷积的时域结果与频域相乘的逆变换相等，首先容易想到的就是对H( ω ω )和X( ω ω )做相同的频域采样，也就是对x(n)、h(n)做相同点数的DFT，即让两序列在时域做圆周卷积，那么现在问题是，做多少点数的DFT能让圆周卷积等于线性卷积呢？
　　
　　线性卷积最常见，直接套用公式计算，这里就不图解。
　　
结论：利用循环卷积计算线性卷积的条件为循环卷积长度 L⩾M+N−1 L ⩾ M + N − 1 。
利用循环卷积计算线性卷积的具体步骤为：

　　1. 将序列 x(n) x ( n ) 和 h(n) h ( n ) 补零延长，使其长度 L⩾N1=N+M−1 L ⩾ N 1 = N + M − 1 ，若采用基-2 FFT，还应使 L L 为不小于 N1 N 1 的2的最小整数次幂；
　　
　　2. 做 x(n) x ( n ) 和 h(n) h ( n ) 的长度为 L L 的FFT得到 X(k) X ( k ) 和 H(k) H ( k ) ，并求它们的积 Y(k)=X(k)H(k) Y ( k ) = X ( k ) H ( k ) ;
　　
　　3. 求 Y(k) Y ( k ) 的iFFT并取前 N1 N 1 点，获得线性卷积的结果 y(n)=IFFT[Y(k)],0⩽n⩽N1 y ( n ) = I F F T [ Y ( k ) ] , 0 ⩽ n ⩽ N 1

　　说的好像很简单的样子，那就用代码验证下
　　

x1 = [1,7,8,9,5,4,6,3,2];
x2 = [5,8,9,6,3,4,8,2,1,7,5,6,7];
conv(x1,x2)
L = 21;
ifft(fft(x1,L).*fft(x2,L))

上面程序中x1的长度为9，x2的长度为13，用matlab的conv函数直接计算出时域线性卷积，然后我们再验证下频域相乘，改变L值使分别L=13、21、23看看，与conv的结果对比，可以验证，只有当L>=9+13时才会得到与conv一样的结果。

　　那为什么要讲线性卷积转化为循环卷积呢，那是因为时域中的循环卷积对应于其离散傅里叶变换的乘积，在两个卷积项非常长且长度相差不大时，转换到频域利用FFT计算量会大大减小。
　　当两个卷积项长度相差很大时，又该怎么办呢，这又引出了下一个问题，重叠相加法与重叠保留法