清北学堂noip2019集训D5——动态规划

动态规划

动态规划难点

• 意识到这个题用动态规划解决
• 高效设计状态
• 多做题

最长上升子序列问题

• 题目： （）
• 设计状态：
• $f[i]$表示以$a[i]$结尾的最长上升子序列长度。
• 最终答案$ma{x}_1\le i\le n$
• 如何转移？

for(int i=1;i<=n;i++){
	f[i]=1;
	for(int j=1;j<i;j++){
		if(a[i]<a[j]) f[i]=max(f[i],1+f[j]);
	}
}

• 时间复杂度$O(n^2)$
• 如何优化？

方法一：树状数组优化

• 假设$a_i$互不相同。
• 离散化：$a_1,a_2,...,a_n$是一个$\{1,2,...,n\}$的排列
• DP值$f[i]$插入数组的$a_i$位置（这里树状数组用于求前缀max）
• 离散化？

//a[i]互不相同时
int a[N];
int a2[N];
int ord[N];
int cmp(int i,int j){
	return a[i]<a[j];
}
void lsh(){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		ord[i]=i;
	}
	sort(ord+1,ord+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a2[ord[i]]=a[i];
	}
}

• 时间复杂度$O(nlogn)$。

方法二：“单调栈”

• 令$g[j]$表示目前为止，长度为j的上升子序列的末尾元素最小是多少。
• $a[1...5]=\{1,5,2,4,3\}$
  $g[1]=inf$
  插入1，$g[1]=1,g[2]=inf$
  插入5，$g[1]=1,g[2]=5,g[3]=inf$
  插入2，$g[1]=1,g[2]=2,g[3]=inf$
  插入4，$g[1]=1,g[2]=2,g[3]=4,g[4]=inf$
  插入3，$g[1]=1,g[2]=2,g[3]=3,g[4]=inf$
• 如何快速更新？
• 二分查找？
• 时间复杂度$O(nlogn)$
• 假如输入数列有重复？
  映射到不同的值上。

例题

• 输入一个整数序列$a_1,a_2,...,a_n$，最少需要修改几次使整个序列变成严格上升序列？（要求修改后均为整数）。
• 让$a_i$减去$i$，得到一个数列，求n-该数列最长不下降子序列长度。

最长公共子序列

• 状态：$f[i][j]$表示$s[1..i],t[1,,j]$的最长公共子序列
• 转移方程：
  $s[i]=t[j]：f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$
  $s[i]̸=t[j]：f[i][j]=max\{f[i-1][j],f[i][j-1]\}$
• 时间复杂度$O(n^2)$

如果$s,t\le 100000$呢？

• 保证s中每一个元素出现的次数小于10次。

思路

• 如果互不相同
• 让t中在s中没有出现过的元素删去，让t以s的顺序排序，算一个最长上升子序列。
• 那次数$\le 10$呢？
• 转化为LIS（最长上升子序列）
• 例如：
  s=abdbad
  t=abcbd
  a:5,1
  b:4,2
  c:。。
  d:6,3
  所以t转化为5，1，4，2，4，2，6，3
  再求t的最长上升子序列。
• 总结起来就是：
  将每个元素在s中出现的下表以降序存在一个链表里，未完。。。

DAG上的dp

• 输入一个有向无环图（DAG），并给定起点s，边权为正，计算从s到每个点u的最长路长度$d[u]$.
• 要求时间复杂度$O(n+m)$
• 先进行拓扑排序$v_1,v_2...,v_n$
  假设$v_1=s$。（否则，s走不到排在s前面的点，可以直接设置它们最短路为-inf）
• $d[v_i]=0$
  从$i=2,...,n$，枚举所有指向$v_i$的边，计算的$d[v_i]=max\{d[v_j]+w(v_j,v_i)\}$

记忆化搜索

背包问题

01背包

• 有$n$个物品，每个有体积$w[i]$,价值$v[i]$。总体积为$W$的背包最多能装多少总价值？
• $(n,W\le 2000)$
• 设计状态：$f[i][j]$表示$j$体积装前$i$件物品，最大的总价值。
• 如何转移？
  $f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])$

  for(int i=1;i<=n;i++){
  	for(int j=0;j<=w[i];j++)
  		f[i][j]=f[i-1][j];
  	for(int j=w[i];j<=W;j++){
  		f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])
  	}
  }
  

优化空间后：

	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=W;j>=w[i];j--){
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i])
		}
	}

完全背包

• 有$n$种物品，每种有体积$w[i]$,价值$v[i]$且有无限个。总体积为$W$的背包最多能装多少总价值？
• $(n,W\le 2000)$

  for(int i=1;i<=n;i++){
  	for(int j=w[i];j<=W;j++){
  		f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i])
  	}
  }
  

子集和问题

• 有$n$个物品，第$i$个体积为$w_i$。能否选出一个子集和，使总容量为$W$的背包装满？
• $f[i][j]=1or0$表示用前$i$件物品能否凑出$j$体积。
• $f[0][0]=1$

  for(int i=1;i<=n;i++){
  	for(int j=0;j<=W;j++)
  		f[i][j]=f[i-1][j];
  	for(int j=w[i];j<=W;j++){
  		if(f[i-1][j-w[i]])
  			f[i][j]=1;
  	}
  }
  //f[n][W]==1 or 0?
  

动态子集和问题

01背包

• 有$n$个物品，每个有体积$w[i]$,价值$v[i]$。总体积为$W$的背包最多能装多少总价值？
• $(n\le 2000，v[1]+v[2]+\cdot \cdot \cdot +v[n]\le 2000,W\le 10^9)$
• 小技巧：反转状态和dp值
  状态$f[i][v]$表示前$i$件物品凑出$v$的总价值最小总体积。
  边界$f[0][0]=0$。
• 伪代码：

f[0][0]=0;
for(int i=0;i<=n;i++){
	f[0][i]=inf;
}

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=0;j<=2000;j++){
		f[i][j]=f[i-1][j];
	}
	for(int j=0;j<=2000;j++){
		f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
	}
}

区间DP

合法子序列问题

• 一个由$[]()$组成的序列，求出最长的合法子序列长度，$(n\le 300)$。
• 定义：合法子序列是一个合法的括号序列，每一对匹配的括号都是同一类型的。比如$[()[]](()())$是合法的。
• 设计状态：
  $f[i][j]$表示在$[i,j]$有多长的合法子序列。
• 转移：
  如果$a[l],a[r]$是匹配的括号，则$2+f[l+1][r-1]$
  枚举断点$k:f[l][k]+f[k+1][r]$
• 按什么顺序进行DP？
  区间长度从小到大的顺序。
  （或者：记忆化搜索）
• 时间复杂度：$O(n^3)$

矩阵链乘法

• 将一个$p\times q$的矩阵乘一个$q\times r$的矩阵，得到一个$p\times r$的矩阵，运算花费是$p\times q\times r$。
• 现在输入$p_1,p_2,p_3,...,p_n$。将$p_1\times p_2,p_2\times p_3,...,p_{n-1}\times p_n$的矩阵乘起来，最小的总运算花费是多少？

例题n（记不清了）

• 设计状态：
  $f[l][r]$表示$a[l,r]$字串的答案。
• 转移：$f[l][k]+f[k+1][r]$
  当a[l]==a[r]时，未完。。。

Floyd也是dp

• n个点的无向图，有向点和边权。每一对s，t，计算从s到t的路径，使得最小化：路径上的总边权+路径最大点权
• $(n\le 300)$

状态压缩DP

经典问题

• 求n个点的无向图的色数。（可以把顶点染成k种颜色之一，使得每条边两端不同色。最小的k是多少）
• $n\le 16$
• 设计状态，用f[s]表示结点子集S的色数。枚举子集进行转移。
• $f[S]=min(f[S],1+f[S-T])$，T是S的子集$((T\&S)==t)$，T中的点两两不相邻。