序列求和_逆元的运用/是什么_(逆元/模运算/数据范围)

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15950
来源：牛客网

题目描述
定义S(n) = 12 + 22 + … + n2，输出S(n) % 1000000007。

注意：1 < n < 1e18。 //这里的n必须要使用longlong

输入描述:
多组输入，输入直到遇到EOF为止；

第一行输入一个正整数n。
输出描述:
输出S(n) % 1000000007的结果。
示例1
输入

1
2
1000

输出

1
5
333833500

思想：

平方和运用数学公式
平方和==(n*(n+1)(2n+1))/6;
我们可以注意到题目中需要mod，对于乘法的mod我们是没有问题。
但是在公式中有个 /6 需要处理。除法的mod怎么办呢？
这时候就需要逆元登场了，把除转化成乘的形式。

下面引用下另一个博主的文章
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对于整数a,m如果存在整数b ,满足ab=1(mod m),那么称b是a的模m 乘法逆元。

比如说要你求A/B%C等于多少，但是存在除法取模问题（因为(A/B）%C ！= (A%C)/(B%C)，而对于乘法却有(AB）%C ！= (A%C)(B%C)

所以要把A/B%C==>A*(1/B)%C 转换成A*X%C的形式，现在就是如何求X。(X在乘法上是B的逆元，意思是我们用B的逆元取代1/B就行了）这样就解决了乘法取模问题
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详情：https://blog.csdn.net/weixin_42373330/article/details/84202849

另附 模运算：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

模一定也要模到位，不然数据后面数据大会wa；

扩展欧几里得：

引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

证明：
当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0
当 b!=0 时，

设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

又因 a%b=a-a/b*b

则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

ax1+by1=ay2+bx2-ba/by2

ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2
所以代码的扩展欧几里得需要把x、y反转。

因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解
而每一组的解可根据后一组得到
所以第一组的解 x , y 必然存在

引用于：
https://www.cnblogs.com/GjqDream/p/11537934.html

#include
#include
#include
#include
#include

#define ll  long long 
using namespace std;
const ll mod = 1000000007;


ll extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {    //扩展欧几里得；计算a%b，a关于b的逆元X,b关于a的逆元Y 
	ll d = a;
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
	}
	else {
		d = extgcd(b, a % b, y, x);//此处需反转
		y -= a / b * x;
	}
	return d;   //返回a%b 
	//此处的d是Gcd.
}
//a*x=1 mod b→a*x - b*y = 1 x就是要求的a mod b的逆元
ll inv(ll a,ll mod){   //求a对mod的逆元 
	ll x, y;
	ll d = extgcd(a, mod, x, y);
	if (d != 1)
		return -1;
	else
		return (x + mod) % mod;

}

int main()
{
	ll n;
	while (cin>>n)
	{
		ll ans = 0;
		ans = ((((n % mod) * ((n + 1) % mod)) % mod) *((2 * n + 1) % mod)) % mod;
		ll inv_6 = inv(6, mod);//表示6%mod的逆元
		ans = (ans%mod*inv_6%mod) % mod;
		cout << ans << endl;

	}

	return 0;
}