面试题精选（77）：两有序数组的中位数求解

题目描述：

Let X[1 .. n] and Y [1 .. n] be two arrays, each containing n numbers already in sorted order. Give an O(lg n)-time algorithm to find the median of all 2n elements in arrays X and Y.

 

题目是《算法导论》上的一道习题，不过已多次出现在面试题当中

 

算法导论给出的分析：（针对长度相等的两有序数组）

 

代码实现：

template
T find_median(T seq1[],T seq2[],int n,int low,int high)
{
    if(low>high)
        return (T)-999999;
    int k=(low+high)/2;
    if(k==n-1 && seq1[n-1]<=seq2[0])
        return seq1[n-1];
    else if(k=seq2[n-k-1] && seq1[k]<=seq2[n-k])
        return seq1[k];
    else if(seq1[k]>seq2[n-k])
        return find_median(seq1,seq2,n,low,k-1);
    else
        return find_median(seq1,seq2,n,k+1,high);
}

template
T two_array_median(T seq1[],T seq2[],int n)
{
    T median=find_median(seq1,seq2,n,0,n-1);
    if(median==(T)-999999)
        return find_median(seq2,seq1,n,0,n-1);
    else
        return median;
}

 

 

 

问题扩展1：

求两有序数组（长度不一定相等）合并后的第i个元素（不一定是中位数）。

 

 

思路分析：

假设两个有序数组是A[1...n]和B[1...n]，由于是寻找第i个元素，那么该元素只可能在A[1...i]与B[1...i]中，现在比较A[i/2]与B[i/2]  
(1)   A[i/2]==B[i/2]，那么A[i/2]（或者B[i/2])即要找的元素  
(2)   A[i/2]>B[i/2]，那么第i个元素在A[1...i/2]和B[i/2...i]中，递归的在上述两个数组中查找第i/2个元素  
(3)   A[i/2]   
很显然，上述算法时间上为O(logi)。

不过有个缺陷，i的取值得小于两数组的长度该算法才能得出正确的结果。

 

 

代码实现：

#include
#include

using namespace std;

 

template
T median2(T* X, T* Y, int size)
{
    int m = (size - 1) / 2;

    if (X[m] == Y[m])
        return X[m];
    else if (X[m] > Y[m])
        return size == 1 ? Y[m] : median2 (X, Y + size - m - 1, m + 1);
    else
        return size == 1 ? X[m] : median2 (X + size - m - 1, Y, m + 1);
}

 

int main(int argc,char* argv[])
{

    int t1[]={1,2,3,3,4,4,5,6,9};
    int t2[]={2,2,3,4,5,7,8};
    cout<<"median 3 :"<

    system("pause");
    return 0;
}

 

问题扩展2：

求两长度不等的有序数组的中位数。

 

思路分析：

It is easy to find the median of each array in O(1) time.
Assume the median of array A is m and the median of array B is n.
Then,
1' If m=n, then clearly the median after merging is also m, the algorithm holds.
2' If m   m, also reserve the half of sequence B in which all numbers are smaller than n.
   Run the algorithm on the two new arrays.
3' If m>n, then reserve the half of sequence A in which all numbers are smaller than
   m, also reserve the half of sequence B in which all numbers are larger than n.
   Run the algorithm on the two new arrays.

Time complexity: O(logn)

 

代码实现：

#include
#include

using namespace std;

template
T find_median_in_two_sorted_arr(T seq1[],T seq2[],int len1,int len2)
{
    int ma=0,na=len1-1;
    int mb=0,nb=len2-1;

    while(1)
    {
        int ka=(na+ma+1)/2;
        int kb=(nb+mb+1)/2;

        if(na        {
            return seq2[kb];
        }
        if(nb        {
            return seq1[ka];
        }
        if(seq1[ka]==seq2[kb])//find the value
        {
            return seq1[ka];
        }

        if((ma==na)&&((nb-mb+1)%2==0))//there is only one element at A[]
        {
            if((seq1[na]=seq2[kb-1]))
            {
                return seq1[na];
            }
        }
        if((ma==na)&&((nb-mb+1)%2))
        {
            if((seq1[na]>seq2[kb])&&(seq1[na]<=seq2[kb+1]))
            {
                return seq1[na];
            }
        }

        if((mb==nb)&&((na-ma+1)%2==0))//there is only one element at B[]
        {
            if((seq2[nb]=seq1[ka-1]))
            {
                return seq2[nb];
            }
        }
        if((mb==nb)&&((na-ma+1)%2))
        {
            if((seq2[nb]>seq1[ka])&&(seq2[nb]<=seq1[ka+1]))
            {
                return seq2[nb];
            }
        }

        int offset=ka-ma>kb-mb?kb-mb:ka-ma;
        if(offset==0)
            offset++;

        if(seq1[ka]        {
            ma+=offset;
            nb-=offset;
        }

        if(seq1[ka]>seq2[kb])
        {
            na-=offset;
            mb+=offset;
        }
    }
}

int main(int argc,char* argv[])
{
    int A[]={1,3,5,7,8,9,10};
    int B[]={2,4,6,10,11,12,13,14,17,19,20};

    int sizeA = sizeof(A)/sizeof(int);
    int sizeB = sizeof(B)/sizeof(int);

    cout<<"median : "<

    system("pause");
    return 0;
}