模拟赛20200215【区间异或(差分+bfs+状压)，变化边权最小生成树，线性回归方程(绝对值函数、偏导数求最值)】
T1：
题解：
将 [ i , i + s i z − 1 ] [i,i+siz-1] [i,i+siz−1]取反，差分一下，可以看成在 i i i 异或1，在 i + s i z i+siz i+siz 异或1。
于是问题转化为使差分数组与原数组的差分数组相同，差分数组的范围为 [ 1 , n + 1 ] [1,n+1] [1,n+1]。
原数组中 x x x为1，即在差分数组中 x x x 异或 1， x + 1 x+1 x+1 异或 1。可以看出1的个数 ≤ 2 k \le2k ≤2k个。
在对 i i i和 i + s i z i+siz i+siz进行改动时，差分数组中要求为1的位置会被改动奇数次，要求为 0 0 0的位置会被改动偶数次，可以将改动的过程看做从一个1经过多次改动走到另一个1，中间经过的状态不变。那么问题相当于求差分数组中的1两两配对的最小代价。
求任意两个1的距离可以用 bfs \text{bfs} bfs 在 O ( k n m ) O(knm) O(knm)时间完成，配对可以用状压DP在 O ( 2 2 k ∗ 2 k ) O(2^{2k}*2k) O(22k∗2k)时间完成。
Code：
#includeT2：
给出三维空间中 n n n个点 ( x i , y i , z i ) (x_i,y_i,z_i) (xi,yi,zi)，以及它们的速度 ( v x i , v y i , v z i ) (vx_i,vy_i,vz_i) (vxi,vyi,vzi)。
两点之间的边权为它们的欧氏距离。
求最小生成树的边集在运动过程中会变化多少次。
保证任意两点不相撞，任意时刻最小生成树唯一，且在 t t t时刻变得最小的生成树在 t + 1 0 − 6 t+10^{-6} t+10−6之内也是最小的。
n ≤ 50 , − 150 ≤ x , y , z ≤ 150 , − 100 ≤ v x , v y , v z ≤ 100 。 n≤50,-150≤x,y,z≤150,-100≤vx,vy,vz≤100。 n≤50,−150≤x,y,z≤150,−100≤vx,vy,vz≤100。
题解：
因为 n n n很小，所以总的边数 n 2 / 2 n^2/2 n2/2也是很小的，最小生成树会变说明某些边的相对大小关系发生了变化。
我们考虑一条边什么时候边权会比另外一条边小，就会得到 n 4 n^4 n4个的事件点，事件点的求法就是解一个一元二次方程，不多说。暴力的话，直接考虑相邻的 2 个事件点之间的时段，生成树的形态不会变了，所以可以 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)再求一下最小生成树，复杂度就是 O ( n 6 ) O(n^6) O(n6)。
考虑 n 4 n^4 n4 对的事件点，我们先对其进行排序，然后一次事件点干的事情是:交换了一对边的大小关系。如果两条边都不在最小生成树中或都在最小生成树中，就不必重构。这样重构的次数大概是O(跑得过) O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)级别的（吗？不会证）。
值得注意的一点是，根据题意，同一个时刻是可以发生多次的边的交换的，
这时候，答案只算一次，这个情况需要特殊考虑，把交换时刻相同的边拿出来乱
搞即可。
写代码时值得注意的另一点是，带入时刻求最小生成树时，如果 T T T时刻是发生交换的时刻，那么要带入 T + e p s T+eps T+eps 。
Code：
#includeT3：
题解：
当 n = 2 ， a k 1 = 1 n=2，a_{k1}=1 n=2，ak1=1时，将 x 2 x_2 x2看做斜率 k k k， x 1 x_1 x1看做截距 b b b，这个问题就是给出一系列点 ( a k 2 , b k ) (a_{k2},b_k) (ak2,bk)，求一条尽可能拟合的直线 y = k x + b y=kx+b y=kx+b。当 t k = 2 t_k=2 tk=2时就是高中学过的线性回归方程。
对于前30%的数据，要使 ∑ ∣ y i − ( k x i + b ) ∣ \sum|y_i-(kx_i+b)| ∑∣yi−(kxi+b)∣最小。
不妨考虑固定 k，那么我们可以移动这条直线使其至少经过给定的一个点。
枚举其为 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)，原式表达为 ∑ ∣ y i − y 0 − k ( x i − x 0 ) ∣ \sum{|y_i-y_0-k(x_i-x_0)|} ∑∣yi−y0−k(xi−x0)∣。这样就只剩下 k k k一个变量，对于其中的一个绝对值函数显然只会有一个拐点 y i − y 0 x i − x 0 y_i-y_0\over x_i-x_0 xi−x0yi−y0且在两边都是一次函数，所以整个式子可以在某个拐点处取得最值，所以我们就证明了，这条直线一定可以经过 2 个点。 m 3 m^3 m3暴力显然。优化的话，考虑枚举一个确定的点，然后对绝对值函数的变化的时刻排序，一个函数要么是 Y − k ∗ X Y-k*X Y−k∗X的形式，要么是 k ∗ X − Y k*X-Y k∗X−Y的形式，记下 k k k的系数和常数即可计算。
对于剩余的 20%数据，由于是平方，所以我们可以把绝对值去掉，这个函数
是一个连续的函数，一种思路是我们三分 k 再三分 b，然后再计算答案=_=不多说。
这里提供另外一个思路：注意到对于任意一个变量，假如其他变量都已经确定了（看做常数），那么整个式子关于这个变量的导数显然为 0 （极值点导数为0）。那么我们就得到了一个线性方程。对于每个变量我们都可以得到一个方程，所以总共有 N 个方程，直接进行高斯消元即可（在此题中如果存在自由元说明存在另一个变量和它等价，可以令其为0 ），复杂度是 O ( n 2 m + n 3 ) O(n^2m+n^3) O(n2m+n3), n n n 为变量的个数，这里就 2 个。（其实就是偏导数）
以 x 1 x_1 x1为例：
∑ ( a k 1 x 1 + a k 2 x 2 + . . . − b k ) 2 = ∑ a k 1 2 x 1 2 + 2 a k 1 ( a k 2 x 2 + . . . − b k ) x 1 + ( a k 2 x 2 + . . . − b k ) 2 \sum (a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+...-b_k)^2=\sum a_{k1}^2x_1^2+2a_{k1}(a_{k2}x_2+...-b_k)x_1+(a_{k2}x_2+...-b_k)^2 ∑(ak1x1+ak2x2+...−bk)2=∑ak12x12+2ak1(ak2x2+...−bk)x1+(ak2x2+...−bk)2
它关于 x 1 x_1 x1的导数为
∑ 2 a k 1 2 x 1 + 2 a k 1 ( a k 2 x 2 + a k 3 x 3 + . . . − b k ) = 0 \sum 2a_{k1}^2x_1+2a_{k1}(a_{k2}x_2+a_{k3}x_3+...-b_k)=0 ∑2ak12x1+2ak1(ak2x2+ak3x3+...−bk)=0
Code：
#include