树的重心——DFS求解

定义：

树的重心也叫树的质心。对于一棵树n个节点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树时，最大子树的结点数最小。换句话说，删除这个点后最大连通块（一定是树）的结点数最小。

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性质：

1. 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个距离和，他们的距离和一样。
2. 把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
3. 一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
4. 一棵树最多有两个重心，且相邻。

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重心的求法

删除重心后最大连通块的结点数最小，那么就要对每个结点，以其为根，找出其所有子树的最大结点数，然后找出 子树最大结点数最小的那个结点，即是重心。

那么怎么一次DFS在O(N)的时间就找出重心呢？

随意选择一个根结点，进行DFS，对于 某个结点u ，每次向下遍历，可以得出 u向下遍历的各个子树的结点数 ，但是如果以u作为根结点话，还有 一颗向上遍历的子树结点数 没有考虑，但是可以发现 这棵向上遍历的子树的结点数= N - 向下遍历的各子树结点数之和 -1

具体实现：

int min_balance=INF;   //删除重心后最大连通块的数量
int min_node;          //重心
int dfs(int u)     //dfs每次返回以u为根的子树的结点数量
{
    vis[u]=true;
    int sum=0;     //向下遍历的各子树结点数之和
    int max_subtree=0;   //最大子树结点数
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)   //向下遍历
    {
    	int v=e[i].v;
        if(vis[v])
            continue;
        int t=dfs(v);   //得到以v为根结点的子树的结点数
        sum+=t;
        max_subtree=max(max_subtree,t);
    }
    max_subtree=max(max_subtree,N-sum-1);   //考虑向上遍历的子树的结点数
    if(max_subtree<min_balance)   //更新重心
    {
        min_balance=max_subtree;
        min_node=u;
    }
    return sum+1;    //+1为结点u本身
}

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例题：

Balancing Act POJ - 1655
给出一颗有N个结点的树，求出其重心和删除重心后的最大连通块的结点数。

AC代码：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define PII pair
#define LL long long
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;
const int maxn=2e4+50;
struct edge
{
    int u;
    int v;
    int next;
}e[maxn*2];
int head[maxn],cnt,N;
void addedge(int u,int v)
{
    e[cnt].u=u;
    e[cnt].v=v;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
bool vis[maxn];
int min_balance=INF;   //删除重心后最大连通块的数量
int min_node;          //重心
int dfs(int u)     //dfs每次返回以u为根的子树的结点数量
{
    vis[u]=true;
    int sum=0;     //向下遍历的各子树结点数之和
    int max_subtree=0;   //最大子树结点数
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)   //向下遍历
    {
    	int v=e[i].v;
        if(vis[v])
            continue;
        int t=dfs(v);   //得到以v为根结点的子树的结点数
        sum+=t;
        max_subtree=max(max_subtree,t);
    }
    max_subtree=max(max_subtree,N-sum-1);   //考虑向上遍历的子树的结点数
    if(max_subtree<min_balance)   //更新重心
    {
        min_balance=max_subtree;
        min_node=u;
    }
    return sum+1;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(head,-1,sizeof(head));
        cnt=0;
        scanf("%d",&N);
        for(int i=1;i<=N-1;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d %d",&u,&v);
            addedge(u,v);
            addedge(v,u);
        }
        min_balance=INF;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        dfs(1);
        printf("%d %d\n",min_node,min_balance);
    }
    return 0;
}