结构之美——优先队列三大结构（一）——二项堆
这三篇文章主要讲解二项堆、斐波那契堆、Pairing 堆，这三种结构主要用于优先队列的实现。资料主要参考《算法导论》和或互联网。
《算法导论》第19章讲到了二项堆
1.二项堆简介
二项堆是二项堆是由一组二项树组成，在给出二项堆的定义之前，首先我们来定义什么是二项树。
1.1二项树
二项树是一种递归的有序树。定义如下：
1. 二项树B[0]仅仅包含一个节点
2. B[k]是由两棵B[k-1]二项树组成，其中一颗树是另外一颗树的左孩子。
下面(a)是二项树B[k]递归定义，(b)二项树B[0]到B[4]，(c)看待二项树的另一种方式：
二项树的性质：
1. 对于树B[k]该树含有2^k个节点；
2. 树的高度是k；
3. 在深度为i中含有Cik节点，其中i = 0， 1，2 ... , k;
4. 根的度数为k，最大，
推论：n节点的二项树，任意节点的最大度数为log(n)
1.2二项堆
二项堆是由一组满足下面的二项树组成：
1. H中的每个二项树遵循最小堆性质（类似小顶堆）；
2. 对于任意的整数k的话，在H只存在一个度数是k的二项树；
另外定义：
1. 二项堆的度数定义成子女个数；
2. 定义二项堆的根表是二项树的根节点形成的链表；
2.数据结构
了解了什么二项堆的定义和使用场景之后，我们来看看如何存储二项堆？
首先定义二项堆中每个节点的类型：
1. parent：指向父节点
2. sibling：指向右边的兄弟节点
3. child：定义该节点的子节点
4. degree:定义该节点的度数
5. 其他应用场景中需要的数据
struct heap_node
{
struct heap_node*parent;
struct heap_node*next;
struct heap_node*child;
unsigned intdegree;
void*value;
struct heap_node**ref;
};
定义二项堆数据类型：
1. 根表的头节点
2. 其他应用需要的数据
struct heap {
struct heap_node*head;
struct heap_node*min;
};
3.二项堆操作
3.1创建一个新的二项堆
MAKE-BINOMIAL-HEAP,
分配并返回一个对象H，head[H]=NIL;running time is(1).
仅仅将根表的头节点指向null：
}
3.2寻找最小关键字
BINOMIAL-HEAP-MINIMUM，
返回一个指针，指向最小关键字节点。
由于二项堆中每个二项树都是遵循最小堆性质的，所以最小元素一定是在根表中，遍历根表一次即可找出最小元素：
BINOMIAL-HEAP-MINIMUM(H)
1 y NIL
2 x head[H]
3 min
4 while x NIL
5 do if key[x] < min
6 then min key[x]
7 y x
8 x sibling[x]
9 return y
3.3 合并操作（MOST）
BINOMIAL-HEAP-UNION
二项堆的合并操作是一个比较复杂，但是至关重要的一个过程，这里假设需要合并的两个二项堆是H1和H2，如果简单的将H1和H2的根表（两个链表）进行合并的话，显然这可能是违反了二项堆定义的第二条：
2. B[k]是由两棵B[k-1]二项树组成，其中一颗树是另外一颗树的子树。
这就是二项堆合并操作的主要需要解决的问题：两个二项堆合并完成之后，可能在根表中存在两个度数相同的节点，需要将度数相同的节点合并成一个新的节点。
这里我们进一步将这个问题现在转换成了：已知H1根表和H2的根表中每个节点的度数，并且H1和H2的根表已经是按照度数排序的，如何H1和H2根表合并，并且新的根表中不存在两个度数相同的节点。
一个朴素的思想就是现将H1和H2合并，然后在进行适当的调整，将两个度数相同的节点合并掉，这样保证了新的根表中不存你在两个度数相同的节点。那么基本的程序框架：
union(H1, H2)
{
#1:合并H1和H2的根表，生成新的根表H，并且H的节点是按照度数排序的;
#2:将H中度数相同的两个节点合并，直到根表H中不存在两个度数相同的节点;
}
继续细化上面的思路，#1是比较简单的，类似于归并排序中的合并的思路，但是对于#2而言，由于H是排序完成的，那么我们仅仅需要将H遍历一遍，如果存在两个相同的度数，合并即可。
case1: 当前节点的degree[x]与其后继结点的degree[next-x]不相等；后移；
case2: 当前节点的degree[x]与其后继的后继degree[sibling[next-x]]相等；后移；（三个深度都一样）
else:
degree[x] = degree[next-x]:
case3: if(key[x] <= key[next-x]) : sibling[x] = sibling[next-x], BINOMIAL-LINK(next-x,x)//next-x赋给x的左孩子
case4: if(key[x] > key[next-x]) : sibling[prev-x] = next-x, BINOMIAL-LINK(x,next-x)//x赋给next-x的左孩子
3.4 插入一个节点
BINOMIAL-HEAP-INSERT(H,x)
首先构建一个只包含一个元素的二项堆H',O(1)，再合并,O(log(n));
1 H' MAKE-BINOMIAL-HEAP()
2 p[x] NIL
3 child[x] NIL
4 sibling[x] NIL
5 degree[x] 0
6 head[H'] x
7 H BINOMIAL-HEAP-UNION(H,H')
3.5 抽取最小元素
BINOMIAL-HEAP-EXTRACT-MIN
1 find the root x with the minimum key in the root list of H, MAKE-BINOMIAL-HEAP
and remove x from the root list of H
2 H' MAKE-BINOMIAL-HEAP()
3 reverse the order of the linked list of x's children,
and set head[H'] to point to the head of the resulting list 逆向连接x的孩子到head[H']
4 H BINOMIAL-HEAP-UNION(H,H')合并
5 return x
3.6 减小一个关键字的值
BINOMIAL-HEAP-DECREASE-KEY (H,x,k)
将y减小到7，冒泡上升即可。
3.7 删除一个关键字
BINOMIAL-HEAP-DELETE(H,x)
将删除元素当做无穷小，利用 BINOMIAL-HEAP-DECREASE-KEY (H,x,k)冒泡上升到树根，再删除BINOMIAL-HEAP-EXTRACT-MIN(H)
1 BINOMIAL-HEAP-DECREASE-KEY(H,x,-)
2 BINOMIAL-HEAP-EXTRACT-MIN(H)
4.应用情况
我们在什么情况下使用“二项堆”？
如果是不支持所谓的合并操作union的话，普通的堆的数据结构就是一种很理想的数据结构。 但是如果想要支持集合上的合并操作的话，最好是使用二项堆或者是斐波那契堆，普通的堆在union操作上最差的情况是O(n)，但是二项堆和斐波那契堆是O(lgn)。
Binary heap Binomial heap（） Fibonacci heap
二叉堆（最坏情况） 二项堆（最坏情况） （斐波那契堆（平摊））
Procedure (worst-case) (worst-case) (amortized)
--------------------------------------------------------------
MAKE-HEAP (1) (1) (1)
INSERT (lg n) O(lg n) (1)
MINIMUM (1) O(lg n) (l)
EXTRACT-MIN (lg n) (1g n) O(lg n)
UNION (n) O(lg n) (1)
DECREASE-KEY (lg n) (lg n) (1)
DELETE (1g n) (lg n) O(lg n)
5.参考资料
算法导论：http://net.pku.edu.cn/~course/cs101/2007/resource/Intro2Algorithm/book6/chap20.htm
博客园（内含代码）：http://www.cnblogs.com/xuqiang/archive/2011/06/01/2065549.html
ITEYE（完整代码）：http://dsqiu.iteye.com/blog/1714961