数论分块总结

**~~

数论分块总结

**~~
加速运算形似
的式子
证明：


（这东西好像俩叫法 数论/整除 分块）
模板

//for中l，r的类型若不会爆int 尽量int而不ll
ll n,ans=0;
sl(n);		
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
	r=n/(n/l);
	ans+=(r-l+1)*(n/l)//l r范围内 k/i值相同
	//if(k/l!=0) r=min(k/(k/l),n); 若为对k/i求和
	//else r=n;//l r范围内 k/i值相同
}

一些变形
(1）

二维扩展

for(ll l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){
	r=min(n/(n/l),m/(m/l));
	ans+=(r-l+1)*(n/l)*(m/l);
}

(2)


将（r-l+1）替换为对应求和式即可(其他函数的话换成相应前缀和处理即可)

（1）ans+=(l+r)*(r-l+1)/2 *(n/l)；
（2）int cal(int x){return x*(x+1)*(2*x+1)/6;} 
	 ans+=(cal(r)-cal(l-1))*(n/l);

（3）

for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
    r=n/(n/l);
    ans+=(l+r)*(r-l+1)/2*(1+n/l)*(n/l)/2;	
}

(4) ${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i\ast i}\rfloor$

for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
	if(l*l>n) break;
	r=sqrt(n/(n/(l*l)));
	ans+=(r-l+1)*(n/(l*l));
}