【数学】在平面中，一个点绕任意点旋转θ度后的点的坐标 - 【旋转变换 旋转矩阵】

方法一：

// ptSrc: 圆上某点(初始点);
// ptRotationCenter: 圆心点;
// angle: 旋转角度°  -- [angle * M_PI / 180]:将角度换算为弧度
// 【注意】angle 逆时针为正，顺时针为负
QPointF MathWidget::RotatePoint(const QPointF &ptSrc, const QPointF &ptRotationCenter, const qreal &angle)
{
    //其中圆心（a,b),  圆上一点坐标(x0,y0), 旋转角度α   ,
    //那么旋转后的坐标 x=a+(x0-a)cosα-(y0-b)sinα ,    y=b+(x0-a)sinα+(y0-b)cosα
    QPointF ptDst;
    qreal a = ptRotationCenter.x();
    qreal b = ptRotationCenter.y();
    qreal x0 = ptSrc.x();
    qreal y0 = ptSrc.y();
    ptDst.rx() = a + (x0-a) * cos(angle * M_PI / 180) - (y0-b) * sin(angle * M_PI / 180);
    ptDst.ry() = b + (x0-a) * sin(angle * M_PI / 180) + (y0-b) * cos(angle * M_PI / 180);
    return ptDst;
}

一、推导过程：

1. 首先，极坐标系下，一个点绕原点( 0, 0)旋转一个角度后的坐标点

A (x1 ,y1)以原点为圆心旋转 n 度,求旋转后 A' (x' , y') 坐标值.

【注意】旋转 n 度：n 定义为 逆时针为正，顺时针为负

记原点为O，OA 与 X轴夹角为 θ
设 R = OA = √x1²+y1²
∴ 三角换元 x1 = Rcosθ，y1=Rsinθ
∴  cosθ = x1 / R，sinθ = y1 / R

逆时针旋转 n 度后
x' = R cos(θ+n) = R(cosθcosn - sinθsinn)

∵ cosθ = x1 / R，sinθ = y1 / R

∴ x' = x1cosn - y1sinn

同理： y' = R sin(θ+n) = R(sinθcosn + cosθsinn)

∵ cosθ = x1 / R，sinθ = y1 / R

∴ y' = y1cosn + x1sinn

 2. 设原点为( x0, y0)

则：A (x1 ,y1) 以 ( x0, y0) 为圆心旋转 n 度,求旋转后 A' (x' , y') 坐标值.

x' = x0 + (x1 - x0) cosn - (y1 - y0)sinn

y' = y0 +(y1 - y0)cosn + (x1 - x0) sinn

二、旋转变换（一）旋转矩阵

1. 简介

2. 绕原点二维旋转

3. 绕任意点的二维旋转

4. 三维基本旋转

    4.1 绕X轴的旋转

    4.2 绕Y轴旋转

    4.3 绕Z轴旋转

    4.4 小结

5. 绕任意轴的三维旋转

详情请参照：

https://blog.csdn.net/csxiaoshui/article/details/65446125

【注】三种绕 坐标轴 旋转的情况，属于特殊的二维旋转，比如绕 Z 轴旋转，相当于在与 XOY 平面上绕 原点 做二维旋转。

 

方法二：使用 旋转矩 阵求解

1. 推导 与 构建

2. 应用