环 (代数)（转）

环的定义类似于可交换群，只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”（注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

定义

集合R和定义于其上的二元运算 + 和·，(R, +, ·)构成一个环，若它们满足：

1. (R, +)形成一个交换群，其单位元称为零元素，记作‘0’。即：
   • (R, +)是封闭的
   • (a + b) = (b + a)
   • (a + b) + c = a + (b + c)
   • 0 + a = a + 0 = a
   • ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
2. (R, ·)形成一个半群，即：
   • (a·b)·c = a·(b·c)
   • (R, ·)是封闭的
3. 乘法关于加法满足分配律：
   • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
   • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

其中，乘法运算符·常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

基本性质

考虑一个环R，根据环的定义，易知R有以下性质：

• ∀a∈R，a·0 = 0·a = 0；（这也是为什么0作为加法群的单位元，却被称为“零元素”）
• ∀a，b∈R，(-a)·b = a·(-b) = -(a·b)；

特殊的环

幺环

若环R中，(R, ·)构成 幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为 幺环。此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。

交换环

若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成 交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为 交换环。

无零因子环

若R中没有非0的零因子，则称R为为 无零因子环。

• 此定义等价于以下任何一条：
  • R\{0}对乘法形成半群；
  • R\{0}对乘法封闭；
  • R中非0元素的乘积非0；

整环

无零因子的交换幺环称为 整环。

例：整数环，多项式环

唯一分解环

若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是 唯一分解环.

除环

若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个 群，即：∀a∈R\{0}，∃a^{-1}∈R\{0}，使得a^{-1}·a=a·a^{-1}=1。则R称为 除环。

• 除环不一定是交换环。反例：四元数环。
• 交换的除环是体。

主理想环

每个理想都是主理想的整环称为 主理想环。

单环

若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为 单环。

商环

质环

例子

• 集环：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
  • R对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
  • R对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
  • R对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是 布尔环。

• 整数环是一个典型的交换且含单位环。
• 有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
• 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
• n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。