迭代法——Matlab中实现

迭代法

这里一共提供了四种迭代法：
+ 雅可比迭代法
+ 高斯赛德迭代法
+ 超松弛迭代法（SOR）
+ 共轭迭代法

随机生成方程组

此处随机生成特征值服从独立同分布的[0,1]间的均匀分布的A矩阵，跟服从独立同分布的正态分布的b向量

算法设计

• A矩阵的实现，首先需要用rand得到一组特征值，将该组特征值通过diag函数生成对角阵Q，之后通过orth函数生成对称矩阵U，再通过UQU’即可得到对称正定矩阵
• b向量的实现同第一题，用randn函数即可

代码实现：

%n代表的是维度
b = randn([n(k) 1]);
Q = diag(rand([1 n(k)]));
U = orth(rand([n(k) n(k)]));

Jacobi 迭代法函数

算法设计

• 传入参数为矩阵A，向量b，以及维度n
• 传出参数为结果与时间（or相对误差数组），具体输出视操作而定
• 通过diag函数，tril函数，triu函数得到A矩阵的对角阵D，上三角矩阵U跟下三角矩阵L
• 通过以下公式得到迭代所需的B跟f

  B = D(L+U);
  f = D\b;`

• 通过以下公式进行迭代：

  x = B*x0 + f;

• 迭代终止的判断，求出前后两次迭代的向量差的范数，直至小于1^-6
• 如果迭代次数超过2000，则视为发散，弹出错误

代码实现：

function [x,y] = Jacobi(n, A ,b)

    %y = zeros(1000,1);
    eps = 1.0e-6;
    D = diag(diag(A));
    L = -tril(A, -1);
    U = -triu(A, 1);

    B = D\(L+U);
    f = D\b;

    count = 1;

    x0 = zeros(n,1);
    x = B*x0 + f;

    tic;
    while norm(x-x0)> eps
        x0 = x;
        %y(count) = norm(x-A\b);
        x = B*x0 + f;
        count = count + 1;
        if count > 2000
            disp('error:该矩阵不收敛');
            return;
        end
    end
    toc;
    y = toc;
    disp(count);
end

Gauss-Seidel 迭代法函数

算法设计

• 传入参数为矩阵A，向量b，以及维度n
• 传出参数为结果与时间（or相对误差数组），具体输出视操作而定
• 通过diag函数，tril函数，triu函数得到A矩阵的对角阵D，上三角矩阵U跟下三角矩阵L
• 通过以下公式得到迭代所需的B跟f

    B = (D - L)\U;
    f = (D - L)\b;

• 通过以下公式进行迭代：

     x = B*x0 + f;

• 迭代终止的判断，求出前后两次迭代的向量差的范数，直至小于1^-6
• 如果迭代次数超过2000，则视为发散，弹出错误

代码实现：

function [x, y]= Gauss_Seidel(n, A ,b)

    %y = zeros(1000,1);
    eps = 1.0e-6;
    D = diag(diag(A));
    L = -tril(A, -1);
    U = -triu(A, 1);

    B = (D - L)\U;
    f = (D - L)\b;

    count = 1;
    x0 = zeros(n,1);
    x = B*x0 + f;

    tic;
    while norm(x-x0) > eps

        x0 = x;
       % y(count) = norm(x-A\b);
        x = B*x0 + f;
        count = count + 1;

        if count > 2000
            disp('error:该矩阵不收敛');
            return;
        end
    end
    toc;
    y = toc;
    disp(count);
end

逐次超松弛迭代法函数

算法设计

• 传入参数为矩阵A，向量b，以及维度n
• 传出参数为结果与时间（or相对误差数组），具体输出视操作而定
• 通过diag函数，tril函数，triu函数得到A矩阵的对角阵D，上三角矩阵U跟下三角矩阵L
• 通过以下公式得到迭代所需的B跟f

    B = (D - w*L) \ ((1-w) * D + w*U);
    f = w * inv(D - w*L) * b;

• 通过以下公式进行迭代：

    x = B*x0 + f;

• 迭代终止的判断，求出前后两次迭代的向量差的范数，直至小于1^-6
• 如果迭代次数超过2000，则视为发散，弹出错误

代码实现：

function [x, y] = SOR(n, A ,b, w)

    y = zeros(1000,1);
    eps = 1.0e-6;
    D = diag(diag(A));
    L = -tril(A, -1);
    U = -triu(A, 1);

    B = (D - w*L) \ ((1-w) * D + w*U);
    f = w * inv(D - w*L) * b;

    count = 1;

    x0 = zeros(n,1);
    x = B*x0 + f;

    tic;
    while norm(x-x0) > eps

        x0 = x;
        y(count) = norm(x-A\b);
        x = B*x0 + f;
        count = count + 1;

        if count > 2000
            disp('error:该矩阵不收敛');
            return;
        end
    end
    toc;
    y = toc;
    disp(count);
end

共轭梯度法函数

算法设计

• 传入参数为矩阵A，向量b，以及维度n
• 传出参数为结果与时间（or相对误差数组），具体输出视操作而定
• 通过以下公式得到迭代所需的r0跟p0

    r0 = b - A * x0;
    p0 = r0;

• 通过以下公式进行迭代：

      a = r0'r0/(p0'A*p0);
      x = x0 + a*p0;
      r = r0 - a*A*p0;
      B = r'*r/(r0'*r0);
      p = r + B*p0;

• 迭代终止的判断，求出前后两次迭代的向量差的范数，直至小于1^-6
• 如果迭代次数超过2000，则视为发散，弹出错误

代码实现：

function [x, y] = CG(n, A , b)

    y = zeros(1000,1);
    eps = 1.0e-6;
    x0 = zeros(n,1);
    r0 = b - A * x0;
    p0 = r0;

    count = 1;

    tic;
    while norm(p0) > eps
        a = r0'*r0/(p0'*A*p0);
        x = x0 + a*p0;
        r = r0 - a*A*p0;
        B = r'*r/(r0'*r0);
        p = r + B*p0;

        p0 = p;
        r0 = r;
        x0 = x;
       % y(count) = norm(x-A\b);
        count = count + 1;

        if count > 2000
            disp('error:该矩阵不收敛');
            return;
        end
    end
    toc;
    y = toc;

    disp(count);
end

相对误差计算

算法设计

• 通过A\b得到近似解
• 通过求出近似解与得到的解的差向量的范数作为相对误差

代码实现

具体的代码实现，已经穿插在四种迭代法中