CUDA编程（十）使用Kahan's Summation Formula提高精度
CUDA编程（十）
使用Kahan’s Summation Formula提高精度
上一次我们准备去并行一个矩阵乘法，然后我们在GPU上完成了这个程序，当然是非常单纯的把任务分配给各个线程，也没有经过优化。最终我们看到，执行效率相当的低下，但是更重要的是出现了一个我们之前做整数立方和没遇到的问题，那就是浮点数精度损失的问题。
关注GPU运算的精度问题：
在程序的最后，我们计算了精度误差，发现最大相对误差偏高，而一般理想上应该要低于 1e-6。
我们之前将评估CUDA程序的时候也提过了，精度是CUDA程序需要重点评估的一个点，那么我们该如何解决这个问题呢？我们先分析一下原因。
出现精度问题的原因：
其实计算结果的误差偏高的原因很简单，在 CPU 上进行计算时，我们使用 double（即 64 bits 浮点数）来累进计算过程，而在 GPU 上则只能用 float（32 bits 浮点数）。在累加大量数字的时候，由于累加结果很快会变大，因此后面的数字很容易被舍去过多的位数。
这里可能说的不是很清楚，看完下面这个例子就清楚了。
浮点数的大数吃小数问题：
浮点数的精度：
大家应该很清楚，浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，分为符号位，指数位，和尾数位。
float和double各段的位数分别是：
float：
1bit（符号位） 8bits（指数位） 23bits（尾数位）
double：
1bit（符号位） 11bits（指数位） 52bits（尾数位）
float和double的精度是由尾数的位数来决定的：
float： 2^23 = 8388608，一共七位，这意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字。
double： 2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理，double的精度为15~16位。
大数吃小数：
float因为位数相较于double要短不少，所以很容易出现大数吃小数的问题：
比如我们用两个float相加:
#include a+b 应该等于 101000.338，前面说了float的精度有6~7位，所以38可能会被截掉，3不一定，但是8必然会被截掉，我们可以实际输出一下看看：
结果是：the sum is 101000.335938
因为%f是输出double类型，可以看到转换后8这位已经没了，33是正常的。
从这里可以看到一个加法过程就没了0.008，要是加1000次，一个整8就没了。
这就是大数吃小数问题。
Kahan’s Summation Formula：
现在我们就要想办法解决这个问题了，我们看到标题中这个看起来很高大上的名字，这个也叫作kahan求和算法，我们接下来就要用kahan求和来避免这种精度损失的情况。
名字很高大上，但是原理很小儿科，小学生也知道，缺的我们想办法再补回来：
所以我们用一个temp变量来记住损失掉的部分，等下次加法的时候再加回去就好了。
temp= (a+b)-a-b; 在上面那个问题中 temp = -0.008,在下次计算的时候加和到下一个加数就可以一定程度的减小误差。
Kahan’s Summation Formula伪代码：
function KahanSum(input)
var sum = 0.0
var c = 0.0 //A running compensation for lost low-order bits.
for i = 1 to input.length do
y = input[i] - c //So far, so good: c is zero.
t = sum + y //Alas, sum is big, y small, so low-order digits of y are lost.
c = (t - sum) - y //(t - sum) recovers the high-order part of y; subtracting y recovers -(low part of y)
sum = t //Algebraically, c should always be zero. Beware eagerly optimising compilers!
//Next time around, the lost low part will be added to y in a fresh attempt.
return sum提高矩阵乘法的精度：
看着伪代码比着葫芦画瓢还是比较简单的,我们只需要更改核函数中的加和部分即可：
原版
//计算矩阵乘法
if (row < n && column < n)
{
float t = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
{
t += a[row * n + i] * b[i * n + column];
}
c[row * n + column] = t;
}改版
//计算矩阵乘法
if (row < n && column < n)
{
float t = 0;
float y = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
{
float r;
y -= a[row * n + i] * b[i * n + column];
r = t - y;
y = (r - t) + y;
t = r;
}
c[row * n + column] = t;
}
完整程序：
#include >>(参数...);
matMultCUDA << < blocks_num, THREAD_NUM, 0 >> >(cuda_a, cuda_b, cuda_c, n, time);
/*把结果从显示芯片复制回主内存*/
clock_t time_use[blocks_num * 2];
//cudaMemcpy 将结果从显存中复制回内存
cudaMemcpy(c, cuda_c, sizeof(float)* n * n, cudaMemcpyDeviceToHost);
cudaMemcpy(&time_use, time, sizeof(clock_t)* blocks_num * 2, cudaMemcpyDeviceToHost);
//Free
cudaFree(cuda_a);
cudaFree(cuda_b);
cudaFree(cuda_c);
cudaFree(time);
//把每个 block 最早的开始时间，和最晚的结束时间相减，取得总运行时间
clock_t min_start, max_end;
min_start = time_use[0];
max_end = time_use[blocks_num];
for (int i = 1; i < blocks_num; i++)
{
if (min_start > time_use[i]) min_start = time_use[i];
if (max_end < time_use[i + blocks_num]) max_end = time_use[i + blocks_num];
}
//核函数运行时间
clock_t final_time = max_end - min_start;
//CPU矩阵乘法，存入矩阵d
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
double t = 0;
for (int k = 0; k < n; k++)
{
t += a[i * n + k] * b[k * n + j];
}
d[i * n + j] = t;
}
}
//验证正确性与精确性
float max_err = 0;
float average_err = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (d[i * n + j] != 0)
{
//fabs求浮点数x的绝对值
float err = fabs((c[i * n + j] - d[i * n + j]) / d[i * n + j]);
if (max_err < err) max_err = err;
average_err += err;
}
}
}
printf("Max error: %g Average error: %g\n", max_err, average_err / (n * n));
printf("gputime: %d\n", final_time);
return 0;
}
运行结果：
我们看到结果还是效果还是非常不错的，我们上次的结果是：
Max error：2.07589e-006
Average error :3.3492e-007
gpu time:189967999
而目前的结果是：
Max error：1.19206e-007
Average error :7.70641e-010
gpu time:210779939
我们可以看到精确度确实有了很大的提升，当然效率还是一如既往地慢，不过我们至少把精度问题给解决了。
总结：
之前我们用CUDA完成了矩阵乘法，但是当然会存在很多问题，除了速度问题，GPU浮点数运算的精度也很差，本篇博客从出现误差的原理（浮点数大数吃小数）分析，使用了Kahan’s Summation Formula在一定程度上解决了CUDA运算float精度不够的情况，接下来我们会着手去解决速度问题~
希望我的博客能帮助到大家~
参考资料：《深入浅出谈CUDA》