第五届蓝桥杯省赛C++A组 波动数列

标题：波动数列

观察这个数列：
1 3 0 2 -1 1 -2 ...

这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

【数据格式】
输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。
输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

例如，输入：
4 10 2 3
程序应该输出：
2

【样例说明】
这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗  < 1000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。

注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

 

思路：这是一道类似01背包的问题，当时为了搞清楚这道题，翻了不少题解，后来偷懒就不想自己写，既然有人问，那我就补上一个我的理解。

根据题目的意思，我们可以得出式子：，其中x为首项，P为+a或-b操作。这里我们可以发现第i项为x+iP，也就是说第i项的P操作次数权值为i。

化简一下：  ，可以看到+a和-b操作的次数和为 ，那么只要确定了+a操作的次数，-b操作的次数也就定了，所以我们可以只考虑+a操作的次数情况。

接下来我们进入正题，如何用动态规划来求解。首先定义一个数组dp[i][j]，表示前i项中+a操作的次数和为j的方案数，那么每更新一次dp数组要考虑就是在+a操作的次数和为j的情况下第i项的操作情况。然后考虑边界条件，当i≠0时，dp[i][0]=1，前i项中+a操作的次数和为0，那么说明只有全是-b操作这一种情况；当j≠0时，dp[0][j]=0，前0项就等于没有项，所以也不会有+a操作。剩下的就是对一般情况的讨论了，当i>j时，由于前面提到第i项的P操作次数权值为i，而目前+a操作的次数和为j，如果当前的次数和j中包含了这一次的权值i，那必然是不可能的，因为j

分析之后我们可以发现每次更新dp数组时，只有它的前一个状态与当前状态有关系，所以我们就可以将第一维的长度修改为2，使用滚动数组。

参考了这位大佬的思路（https://blog.csdn.net/wr132/article/details/43861145）只不过我按照这个思路写出来的代码在官网提交之后还是有一组测试数据过不了。

代码：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include

优化：上面也提到了当前状态只与前一状态有关，所以dp可以优化成一维数组，至于为什么我一直留着上面的代码，是因为想留一个滚动数组。

代码：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include

P.S. 最后再推一个题解（https://blog.csdn.net/more_ugly_less_bug/article/details/54957478），里面详细介绍了01背包和如何把这道题往01背包上推的过程，还提供了一些别的测试样例！