数论倒数

ACM数论之旅6---数论倒数，又称逆元（我整个人都倒了(￣﹏￣)）

 

数论倒数，又称逆元（因为我说习惯逆元了，下面我都说逆元）

数论中的倒数是有特别的意义滴

你以为a的倒数在数论中还是1/a吗

(・∀・)哼哼~天真

 

先来引入求余概念

 

(a +  b) % p = (a%p +  b%p) %p  （对）

(a  -  b) % p = (a%p  -  b%p) %p  （对）

(a  *  b) % p = (a%p *  b%p) %p  （对）

(a  /  b) % p = (a%p  /  b%p) %p  （错）

 

为什么除法错的

证明是对的难，证明错的只要举一个反例

(100/50)%20 = 2       ≠      (100%20) / (50%20) %20 = 0

 

对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？

答案当然是 NO (>o<)

 

这时就需要逆元了

 

我们知道

如果

a*x = 1

那么x是a的倒数，x = 1/a

但是a如果不是1，那么x就是小数

那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了

a*x  = 1 (mod p)

那么x一定等于1/a吗

不一定

所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做    a关于p的逆元

 

比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元

这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数

 

a的逆元，我们用inv(a)来表示

 

那么(a  /  b) % p = (a * inv(a) ) % p = (a % p * inv(a) % p) % p

这样就把除法，完全转换为乘法了 (。・ω・)，乘法超容易

 

 

 

 

 

 

 

 

 

正篇开始

 

逆元怎么求

(忘了说，a和p互质，a才有关于p的逆元)

 

 

 

 

 

 

方法一：

 

费马曾经说过：不想当数学家的数学家不是好数学家（(￣▽￣)~*我随便说的，别当真）

费马小定理

a^(p-1) ≡1 (mod p)

两边同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod p)

什么(,,• ₃ •,,)，这可是数论，还敢写1/a

应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

 

所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

这个用快速幂求一下，复杂度O(logn)(ง •̀_•́)ง 

 1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 
 2     LL ret = 1;
 3     while(b){
 4         if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
 5         a = (a * a) % p;
 6         b >>= 1;
 7     }
 8     return ret;
 9 }
10 LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元 
11         return pow_mod(a, p-2, p);
12 }