高数知识梳理——反常积分的敛散性

反常积分的敛散性

反常积分

1. 定义：积分区间无限的定积分成为反常积分（广义积分）。

   eg. ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx$

2. 反常积分敛散性的普遍结论：

$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx(a>0):\{\begin{array}{l}p>1,函数收敛\\ p\le 1,函数发散\end{array}$$

证明：

当p =1 时，

$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx={\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x}dx$$

$=ln|x|{|}_a^{+\infty }=li{m}_{x\to +\infty }ln|x|-ln|a|=+\infty$

$\Rightarrow 函数发散$

当 $p̸=1$时，

${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx=\frac{1}{1-p}{x}^{1-p}{|}_a^{+\infty }=li{m}_{x\to +\infty }\frac{1}{1-p}{x}^{1-p}-\frac{1}{1-p}{a}^{1-p}$=$$\{\begin{array}{l}+\infty (p<1)\Rightarrow 函数发散\\ -\frac{1}{1-p}{a}^{1-p}（p>1)\Rightarrow 函数收敛\end{array}$$

$\therefore$ ${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx(a>0):\{\begin{array}{l}p>1,函数收敛\\ p\le 1,函数发散\end{array}$

瑕积分

1. 定义：无界函数的反常积分。

eg.${\int }_0^1\frac{1}{x}dx$

2. 瑕积分敛散性的普遍结论：

$${\int }_a^b\frac{1}{（x-b{）}^p}dx(a>0):\{\begin{array}{l}p<1,函数收敛\\ p\ge 1,函数发散\end{array}$$

证明：

当p =1 时，

$${\int }_a^b\frac{1}{（x-b{）}^p}dx={\int }_a^b\frac{1}{x-b}dx$$
$=ln|x-b|{|}_a^b=li{m}_{x\to b^{-}}ln|x-b|-ln|a|=+\infty$

当 $p̸=1$时，

${\int }_a^b\frac{1}{（x-b{）}^p}dx=\frac{1}{1-p}{(x-b)}^{1-p}{|}_a^b=li{m}_{x\to b^{-}}\frac{1}{1-p}{(x-b)}^{1-p}-\frac{1}{1-p}{(a-b)}^{1-p}$=

$$\{\begin{array}{l}+\infty (p>1)\Rightarrow 函数发散\\ \frac{1}{p-1}(a-b{)}^{1-p}（p<1)\Rightarrow 函数收敛\end{array}$$
$\therefore$ ${\int }_a^b\frac{1}{（x-b{）}^p}dx(a>0):\{\begin{array}{l}p<1,函数收敛\\ p\ge 1,函数发散\end{array}$