纪中暑假集训 2020.08.03【NOIP提高组】模拟 T3：【NOIP2015模拟11.5】Divide

【NOIP2015模拟11.5】Divide

Description

Input

Output

Sample Input

输入1：
4 100
4 5 2 25
输入2：
12 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
输入3：
27 360
269 154 94 221 171 154 50 210 258 358
121 159 8 47 290 125 291 293 338 248
295 160 268 227 99 4 273

Sample Output

输出1：
2
输出2：
220
输出3：
114

Data Constraint

反思&题解

比赛思路： 暴力……（居然爆0了，听说数据long long也会爆，打gcd才行）
正解思路： 先拿一个数组存一下p的因数，因为质因子$2\ast 3\ast 5\ast 7\ast 11\ast 13\ast 17\ast 19$是最接近且大于p的结果，所以p的因子最多有$2^8=256$个，三重循环复杂度$O(256^3)$显然不会爆，
之后我们再拿一个桶记录每个a[i]与p的gcd出现的次数，之后枚举p的每个因子，
设分别为i,j,k，有5种情况
1. 当$i=j=k$时，就是在p的因子i里面选择3个，即

$ans+=C_{p的因子i出现的个数}^3$

2. 当$i=j\ne k$时，就是在p的因子i里面选择2个，在k里面选择1个，即

$ans+=C_{p的因子i出现的个数}^2\ast C_{p的因子k出现的个数}^1$

3. 当$i\ne j=k$时，参考情况2
4. 当$i=k\ne j$时，也参考情况2
5. 当$i\ne j\ne k$时，就是在p的因子i,j,k种各选择一个，即

$ans+=C_{p的因子i出现的个数}^1\ast C_{p的因子j出现的个数}^1\ast C_{p的因子k出现的个数}^1$

最后因为这题时不带模数的，所以费马小定理求组合数就用不了，我们就可以将式子化简来求，化简我在这就不写了，留给大家思考的空间，实在想不到就看code吧
反思： 思维很重要，转化题目有时候时AC的关键

CODE

#include
using namespace std;
long long n,p,yz[1000005],tong[1000005],ans;
long long gcd(long long x,long long y)
{
	if (x%y==0) return y;
	else return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
	freopen("divide.in","r",stdin);
	freopen("divide.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&p);
	long long i;
	for (i=1;i<=p;i++)
		if (p%i==0) yz[++yz[0]]=i;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		long long x;
		scanf("%lld",&x);
		tong[gcd(x,p)]++;		
	}
	long long j,k;
	for (i=1;i<=yz[0];i++)
	{
		for (j=i;j<=yz[0];j++)
		{
			for (k=j;k<=yz[0];k++)
			{
				if (yz[i]*yz[j]*yz[k]%p==0)
				{
					if (i==j && j==k) ans+=tong[yz[i]]*(tong[yz[j]]-1)*(tong[yz[k]]-2)/6;
					else if (i==j) ans+=tong[yz[i]]*(tong[yz[j]]-1)*tong[yz[k]]/2;
					else if (j==k) ans+=tong[yz[j]]*(tong[yz[k]]-1)*tong[yz[i]]/2;
					else if (i==k) ans+=tong[yz[i]]*(tong[yz[k]]-1)*tong[yz[j]]/2;
					else ans+=tong[yz[i]]*tong[yz[j]]*tong[yz[k]];
				}
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}