拓扑排序 详解 + 并查集 详解 + 最小生成树详解
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哎呀，好久了啊，想写这篇博文好久了，但是因为懒的原因 一直迟迟没动手啊。
今天，终于在长久的懒惰下，突然来了那么一点热度。把这篇博文写一下。
本文分为以下几个部分 ：
1、 拓扑排序
2、 并查集
3、 普利姆算法 & 优先队列优化
4、 克鲁斯卡尔算法
前情提要 ： 本文的存图方式 只有两种 ： 邻接矩阵 or 前向星。
1、 拓扑排序
我们起床穿裤子和鞋子时，相信大部分人的顺序是这样的，先穿上内裤，然后再穿上裤子，再穿上袜子，然后才是鞋子。 那么 ，我们把这些步骤分解：
(1)穿内裤
(2)穿裤子
(3)穿袜子
(4)穿鞋子
我们把这四个步骤，按照上述的顺序 给排一下， 这就是所谓的拓扑排序 。
当然这个排序的顺序是 唯一 的，如果你先进行(2)然后(1)(3)(4)，哦，不，你不是超人，请不要这样做， 又假如你按照(1)(2)(4)(3)， 那显然也是不行的。
拓扑排序 也可以描述一个 暑假写作业 的过程 ： 语文作业，数学作业，英语作业，生物作业，化学作业，物理作业。
(1) 语文
(2) 数学
(3) 英语
(4) 生物
(5) 化学
(6) 物理
你可以是(1)(2)(3)(4)(5)(6),也可以是(6)(5)(4)(3)(2)(1)，再者英语老师比较凶，那么可以是(3)(1)(2)(4)(5)(6)。等等其他的排序方式。
那么这个排序又是 不唯一 的。
因此 拓扑排序可能是唯一的又有可能是不唯一的。
就像 3个篮球队进行比赛。 编号分别为 1 ， 2 ， 3。
1打赢了2
2打赢了3
3打赢了1。 问谁是最后的冠军。 各一胜一负你问我谁是冠军 ，这不是扯蛋嘛。 So，这是不能判断谁是冠军的， 因为这个事件存在一个 环，互相牵制，进行排序是不行产生结果的。
如果这样 ：
1打赢了2
3打赢了2
那么最后的冠军可能是不确定的，因为你不知道1和3 谁强。 所以只能是 1,3并列了，你如果喜欢大数在前 那就是3 1 2，反之，就是1 3 2了。
拓扑排序其实就是这个样子。
前面大篇幅的扯犊子，主要是介绍什么是拓扑排序。 那么我们要讨论一下，怎么样进行拓扑排序呢？ 哎，这个问题好！
插播 ：
我们再次的从 1 2 3 这三支队伍的冠军争夺赛说起。
1打赢了2 因为2输了一场比赛，所以要给2做一标记。因此2号的菊花上就出现了一杆长枪。 我们称这个标记为 入度 那么2的入度就是 1了。
3打赢了2 因为2又输了一场比赛，又是一杆长枪啊。为什么受伤的总是2。 那么2的入度 就++了 变成 了2。
好了 这就是 什么是 入度 了。 如果你还不是很懂 入度是什么 。那我告诉你， 入度 在这里就是2号被打败了几次 。
那我们 就要 进入正题了。
拓扑排序 ：
由AOV网构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。
(1) 选择一个入度为0的顶点并输出之；
(2) 从网中删除此顶点及所有出边。
循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。 （摘自 ： 百度百科）
我们继续 以题来进行讲解和理解的加深。
1 Description
2 有N个比赛队（1<=N<=500），编号依次为1，2，3，。。。。，N进行比赛，比赛结束后，裁判委员会要将所有参赛队伍从前往后依次排名，但现在裁判委员会不能直接获得每个队的比赛成绩，只知道每场比赛的结果，即P1赢P2，用P1，P2表示，排名时P1在P2之前。现在请你编程序确定排名。
3
4
5 Input
6 输入有若干组，每组中的第一行为二个数N（1<=N<=500），M；其中N表示队伍的个数，M表示接着有M行的输入数据。接下来的M行数据中，每行也有两个整数P1，P2表示即P1队赢了P2队。
7
8
9 Output
10 给出一个符合要求的排名。输出时队伍号之间有空格，最后一名后面没有空格。
11
12 其他说明：符合条件的排名可能不是唯一的，此时要求输出时编号小的队伍在前；输入数据保证是正确的，即输入数据确保一定能有一个符合要求的排名。
13
14
15 Sample Input
16
17 4 3
18 1 2
19 2 3
20 4 3
21
22
23
24 Sample Output
25
26 1 2 4 3 题目在这
题目链接： 在这
因为数据较小，我们可以使用邻接矩阵进行存储。 这是第一种方法。
题解在这 ：
1 #include 主函数 对数据的获取 和存图。
1 int main() {
2 int n, m;
3
4 while (scanf("%d %d", &n, &m) == 2) {//多组输入， 获取n, m
5 memset(G, 0, sizeof(G));//初始化
6 memset(deg, 0, sizeof(deg));//初始化
7 while (m--) {
8 int u, v;
9 scanf("%d %d", &u, &v);//获取 u,v u打败过v
10 if (G[u][v] == false) {//防止重边 如果被同一个对手打败多次，也太伤v的心了
11 G[u][v] = true;//标记为真
12 deg[v]++;//v的入度++ 一杆长枪入洞了。
13 }
14 }
15 toposort(n);//调用函数
16 }
17 return 0;
18 }拓扑排序的函数 :
1 void toposort(int n) {//拓扑排序
2 int k = 0;
3
4 for (int i = 1; i <= n; i++) {//共进行|G.V|次操作
5 for (int j = 1; j <= n; j++) {//遍历所有的顶点 找入度为0的
6 if (deg[j] == 0) {//找到
7 printf("%d%c", j, i == n ? '\n' : ' ');//输出
8 deg[j]--;//去掉这个点 让deg[j] = -1;
9 k = j;//记录这个点
10 break;//跳出循环
11 }
12 }
13 for (int j = 1; j <= n; j++)//遍历所有的点
14 if (G[k][j] == true) {//找被此点打败过的点
15 G[k][j] = false;//标记为找到过
16 deg[j]--;//让这个点的入度-1
17 }
18 }
19 }此算法的时间复杂度为 O（n * n） 复杂度挺高的呢。
那我们要想办法优化啊。
来了 ， 第二种 时间复杂度为 O（V + E） 在这个算法中 我们用到了 前向星 和 优先队列。
1 #include 1 priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > que;//优先队列
2 struct node {//前向星的结构体
3 int v;//输队编号
4 int next;
5 };
6 node edge[VM * 4];//结构体数组
7 int head[VM];//头指针数组
8 int cnt;//下标主函数对数据的获取和 图的存储
1 int main() {
2 int n, m;
3 int i;
4
5 while (scanf("%d %d", &n, &m) == 2) {//多组输入 ，获取n,m
6 memset(head, -1, sizeof(head));//初始化
7 memset(deg, 0, sizeof(deg));//初始化
8 cnt = 0;//初始化
9 while (m--) {
10 int u, v;
11 scanf("%d %d", &u, &v);//获取u,v
12 for (i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)//查找重边
13 if (edge[i].v == v)//输入重复数据
14 break;//不再储存
15 if (i == -1) {//若不是重复数据
16 deg[v]++;//加边
17 edge[cnt].v = v;
18 edge[cnt].next = head[u];
19 head[u] = cnt++;
20 }
21 }
22 toposort(n);//调用函数
23 }
24 return 0;
25 } 1 void toposort(int n) {
2 priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > que;//优先队列
3
4 for (int i = 1; i <= n; i++)//找所有点
5 if (deg[i] == 0) {//入度为 0
6 que.push(i);//加入队列
7 deg[i]--;//入度 变为 -1
8 }
9 int k = 1;
10 while (que.empty() == false) {//队列不为空
11 int u = que.top();//取出队首的数
12 que.pop();//删除
13 printf("%d%c", u, k++ == n ? '\n' : ' ');//输出
14 for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {//与该点相连的
15 node e = edge[i];//便于书写
16 deg[e.v]--;//点的入度 -1
17 if (deg[e.v] == 0)//若此点的 入度为 0
18 que.push(e.v);//放入队列
19 }
20 }
21 }拓扑排序 讲解 完毕。
2、并查集
并查集从字面上最起码可以看出是一个集合，而且是能并（合并吗？） 能查的集合。集合也就是分组，一组一组的数据，这一组就是一个集合嘛。
并查集是一种用来管理元素分组情况的数据结构。 并查集，并查集，那么他的功能肯定就是 并 和 查。
他可以高效的进行 ：
并 合并元素a和元素b所在的组。
查 查询元素a和元素b是否属于同一组。
并查集可以进行合并 但是却不能进行分割。
并查集的结构 是 树形结构，但是他却不是二叉树，因为是树，所以必定有根节点，根节点就是这个集合，这个分组中最大的统领着 。
对于并查集呢，主要是有 两部分函数 构成， 一个是 union()函数 也就是我们所说的并（合并），另一个是 find()函数 也就是所说的查函数。
对于并查集不会画图真的是好纠结。
对于并查集，大家看这个大牛的博客的讲解吧， 如果大家不想看的话，可以直接看下面的代码讲解，注释还是很清晰的。
http://www.cnblogs.com/cyjb/p/UnionFindSets.html
看完讲解 大家可以看一下这些题目加深一下。（脑子有点乱乱的，原谅我的“乱来”）。
我们对并查集的初始化
1 for (int i = 1; i <= n; i++)
2 par[i] = i;//这是初始化
这是find() 函数
1 int find(int x) {//查找函数
2 if (par[x] == x)//若本身就是根节点 ，那么return
3 return x;
4 return find(par[x]);//不是的话，继续查找
5 }
这是合并函数
1 void unite(int x, int y) {//合并函数
2 x = find(x);//查找x的根节点
3 y = find(y);//查找y的根节点
4 if (x == y)//若这两个数的结点是一样的，那么他们本来就是一个分组里的了，所以没有操作
5 return ;
6 par[x] = y;//不然的话，就让其中的一个点成为另一个点的根节点。
7 }
还有一个判断的 same函数
1 bool same(int x, int y) {
2 return find(x) == find(y);
3 }same函数 下面的题解中都是 直接判断的，所以就把same这个函数直接放在了里面，就这样 same 函数 被我隐藏了。
这上面的 查找函数和合并函数 都是未经优化的，是比较原始的，下面我们用它做一道题。
题目链接在这 我就是题目链接
1 #include 既然说了上面是未优化的，那这儿就要说一下优化的喽。
我们的代码需要用到路径压缩 和 这课树（也就是分组）的高度。
若不知道这两个东东的 话 ，还是这位大牛的 http://www.cnblogs.com/cyjb/p/UnionFindSets.html
find函数的优化
int find(int x) {//查找函数
if (par[x] == x)//若本身就是根节点 ，那么return
return x;
return par[x] = find(par[x]);//不是的话，继续查找，并且进行路径压缩。
//上面为递归版本
/*
int a = x;
while (a != par[a])//一直找到a的 根节点
a = par[a];
while (x != par[x]) {//路径压缩
int t = par[x];
par[x] = a;
x = t;
}
return a;
*/
//上面为非递归版本
}
合并函数的优化
1 void unite(int x, int y) {//合并函数
2 x = find(x);//查找x的根节点
3 y = find(y);//查找y的根节点
4 if (x == y)//若这两个数的结点是一样的，那么他们本来就是一个分组里的了，所以没有操作
5 return ;
6 if (rank[x] < rank[y]) //不然的话， 如果x这个分组的高度小于y分组的高度
7 par[x] = y;//将x并到 y这个分组中，并且是x的父节点是y
8 else {
9 par[y] = x;//不然就是y的父节点为x
10 if (rank[x] == rank[y])//若两个分组的高度相同
11 rank[x]++;//x 的分组高度++
12 }
13 }
在这给出 这个题目的 优化的代码。
1 #include 再来一个题 ： 题目题目
1 #include 不会画图，就不好讲了。
并查集 算是马马虎虎的说完了吧。。。。
插播 ：
什么是 生成树？什么 又是 最小生成树？
给定一个无向图，如果它的某个子图中的任意两个顶点都互相联通并且是一棵树，那么这棵树就是 生成树 。
也就是说，在一个图中，有 n 个顶点 ，若有 n - 1 条边，能使得所有的顶点相连 ，就是 生成树了。
如果你给这些边 加上权值 ，那 权值 总和最小的额生成树 就是最小生成树
再插 ：
最小生成树 有两种方法 一种 ： 普利姆算法 另一种 ： 克鲁斯卡尔。
3、 普利姆算法 & 优先队列优化
prim算法和Dijkstra算法十分相似，都是从某个顶点出发，不断加边的算法。
1. 假设有一棵树只包含一个顶点的v的树T。
2.贪心的选取T和其他顶点之间相连的最小权值的边，并将它加入T中。
3.不断重复1,2 知道所有的点相连生成一棵最小生成树。（此算法的正确性，不给予证明）
下面开始练题。
题目 ： 我是题目 请点击
1 #include 主函数对数据的获取及图的存储
1 int main() {
2 int n, m;
3
4 while (scanf("%d %d", &n, &m), n) {//对边数 和点数的获取
5 for (int i = 1; i <= m; i++) {//初始化
6 for (int j = 1; j <= m; j++) {
7 G[i][j] = i == j ? 0 : INF;
8 }
9 }
10 while (n--) {
11 int u, v, w;
12 scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);//获取 数据
13 if (G[u][v] > w)//防止重边&&存两点之间的最短距离
14 G[u][v] = G[v][u] = w;
15 }
16 prim(m);//调用函数
17 }
18 return 0;
19 }
普利姆函数
1 void prim(int n) {
2 int dis[VM];//记录 边的权值
3 bool vis[VM];//记录为否访问
4 int ans = 0;//
5
6 memset(vis, 0, sizeof(vis));//初始化
7 for (int i = 1; i <= n; i++)
8 dis[i] = G[1][i];//初始化
9 dis[1] = 0;//
10 vis[1] = true;// 1 点标记为已访问
11 int i;
12 for (i = 2; i <= n; i++) {//进行 n - 1 次操作
13 int u = INF;//初始化
14 int k;
15 for (int j = 1; j <= n; j++) {//遍历所有顶点
16 if (!vis[j] && u > dis[j]) {//在所有的未加入的点中 找一个最小的权值
17 k = j;//记录下标
18 u = dis[j];//更新最小值
19 }
20 }
21 if (u == INF)//若图是不连通的
22 break;//提前退出
23 vis[k] = true;//标记为已加入
24 ans += u;//加权值
25 for (int j = 1; j <= n; j++) {//遍历所有的点
26 if (!vis[j] && dis[j] > G[k][j])//对未加入的点&&能找到与此点相连且的权值最小的边
27 dis[j] = G[k][j];//进行更新
28 }
29 }
30 //输出
31 if (i - 1 == n)
32 printf("%d\n", ans);
33 else
34 printf("?\n");
35 }上面的算法的时间复杂度为O（V * V），是不是和Dijkstra很相似呢？那么可不可用优化Dijkstra算法的方法来优化这个呢？ 当然可以
1 #include vector, greater
>que;//权值从小到大的队列
35
36 fill(dis, dis + VM, INF);//初始化
37 memset(vis, 0, sizeof(vis));//初始化
38 dis[1] = 0;//初始化
39 que.push(P(0, 1));//将 1点 和 dis[1] = 0 放入队列
40 while (que.empty() == false) {//队列不为空时
41 P p = que.top();//取出队首
42 que.pop();//删除
43 int u = p.second;//
44 if (vis[u] == true)//若此顶点已经加入生成树
45 continue;//
46 vis[u] = true;//否则，就标记为加入
47 ans += dis[u];//
48 count++;//加入点个数
49 for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {//遍历与该点相邻的点
50 node e = edge[i];
51 if (dis[e.v] > e.w) {//更新他们的权值
52 dis[e.v] = e.w;//
53 que.push(P(dis[e.v], e.v));//放入队列
54 }
55 }
56 }
57 //输出
58 if (count == n)
59 printf("%d\n", ans);
60 else
61 printf("?\n");
62 }
63
64 int main() {
65 int n, m;
66
67 while (scanf("%d %d", &n, &m), n) {//边的个数 顶点个数
68 memset(head, -1, sizeof(head));//初始化
69 cnt = 0;//初始化
70 while (n--) {
71 int u, v, w;
72 scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);//获取数据
73 add(u, v, w);//加边
74 add(v, u, w);//无向图
75 }
76 prim(m);//普利姆算法
77 }
78 return 0;
79 }
主函数对数据的获取 和 图的存储
1 int main() {
2 int n, m;
3
4 while (scanf("%d %d", &n, &m), n) {//边的个数 顶点个数
5 memset(head, -1, sizeof(head));//初始化
6 cnt = 0;//初始化
7 while (n--) {
8 int u, v, w;
9 scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);//获取数据
10 add(u, v, w);//加边
11 add(v, u, w);//无向图
12 }
13 prim(m);//普利姆算法
14 }
15 return 0;
16 }prim函数
1 void prim(int n) {//普利姆函数
2 bool vis[VM];//标记是否访问过
3 int dis[VM];//记录权值
4 int ans = 0;//最小生成树的总值
5 int count = 0;//计数
6 priority_queuevector, greater
>que;//权值从小到大的队列
7
8 fill(dis, dis + VM, INF);//初始化
9 memset(vis, 0, sizeof(vis));//初始化
10 dis[1] = 0;//初始化
11 que.push(P(0, 1));//将 1点 和 dis[1] = 0 放入队列
12 while (que.empty() == false) {//队列不为空时
13 P p = que.top();//取出队首
14 que.pop();//删除
15 int u = p.second;//
16 if (vis[u] == true)//若此顶点已经加入生成树
17 continue;//
18 vis[u] = true;//否则，就标记为加入
19 ans += dis[u];//
20 count++;//加入点个数
21 for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {//遍历与该点相邻的点
22 node e = edge[i];
23 if (dis[e.v] > e.w) {//更新他们的权值
24 dis[e.v] = e.w;//
25 que.push(P(dis[e.v], e.v));//放入队列
26 }
27 }
28 }
29 //输出
30 if (count == n)
31 printf("%d\n", ans);
32 else
33 printf("?\n");
34 }
此算法的时间复杂度为O(E*log(V)); 是不是很棒！
次算法结束。
4、 克鲁斯卡尔算法
克鲁斯卡尔算法就是利用了并查集这一方法，通过对所有边从小到大排序后，判断这两个顶点是否在一个分组中，若在一个分组中，说明这两个点已经加入到生成树之中，若不在一个分组中
就可以直接加上这个边了。
还是以上一题为例
1 #include 自己感觉这个专题写的好糟糕啊，哎，深夜了，睡觉吧。明天又是新的一天啊。因为明天，不，今天8点就要开始新学期第一堂课了啊。