现代谱估计：多窗口谱

本文翻译自Kspectra Tool
为了造福后来人，同时检验学习成果，开始这个系列
#多窗口方法（Multitaper Method）
其实这个翻译有问题，taper和window还是有区别的。
##1多窗口优点
谱分析中的多窗口谱方法对两类问题提供了一个新颖的解决方案，这两类问题是：谱估计和对一个时间序列里面既有连续谱也有特征谱成分的信号重建。
这个方法被广泛应用在地球物理信号分析相关问题中：如大气和海洋数据的分析，古气候数据分析，地球化学信号追踪，还有地震数据。
多窗口谱方法，就像Blackman和tukey法一样，提供了富有吸引力的非参数谱估计方法，该类方法的优点在于，它不需要关于待分析信号产生过程的先验信息，例如（自回归过程）。
##2实现原理
多窗口谱和Blackman-tukey方法的差异在于使用一个锥形窗集合而不是一个单位锥形窗或者谱窗。这样可以减少谱估计的方差。
通过对数据预先乘以多个正交锥形窗（这些窗可以削减因为采样样本有限造成的谱泄露。）可以获得一系列独立的谱估计集合。
最优的矩形窗或者说特征窗属于一个函数集合（离散扁球序列集合-该集合是Rayleigh-ritz 最小化问题的一个宽松解。）
对这个小集合谱求平均可以获得一个更好的和更稳定的谱估计-和单窗口相比具有更小的方差。锥形窗是一个特征函数的离散集合，该函数解决了一个最小化主频外半频率带pfn频谱泄露的变量问题。其中fn是频率分辨率-Rayleigh 频率=1/Ndt，p是一个整数。
##3参数取舍
经过检验，实践中，只有前2p-1个窗可以提供有用的小的谱泄露，因此在任何MTM的实际应用中，被应用的窗的数量K应该小于2P-1。
对于锥形窗带宽2pfn和锥形窗数目k的选择代表了谱分析的一个经典取舍-谱分辨率和方差的稳定性特性。
比如，一个经典的情形，k=1和p=1，是单个锥形窗（Blackman和tukey
）的离散傅里叶变换实现。
对于典型长度的器件记录的气候数据，这个选择 k=3，p=2提供了一个在要求的频率分辨率（足够侦测出显著的气候信号的差异例如enso和年代尺度的变化性）和多分辨自由度的好的取舍。
更长的数据集可以在使用更多的锥形窗的情况下同时保持一个满足要求的频率分辨率，同时最优的锥形窗数量K和p通常来讲是和问题紧密相关的。
##4计算方法
MTM可以同时谱估计得到特征谱（‘谱线’）和连续成分（‘背景’）。一旦锥形窗针对特定的频率带宽设计好，整个功率谱Px可以通过平均每个通过计算每个时间序列的加窗版本计算出的独立谱成分而获得。
第k个特征谱Xk是x(t)wk(t)的离散傅里叶变换。高分辨率的多窗口谱估计是k个特征谱的简单加权和。

其中权重uk是来自离散扁球解的特征值

高分辨率谱估计中的线谱成分会表现成一个峰值或者宽度为2pfn的隆块。对于一个白噪声或者局部白噪声，处理高分辨率谱是卡方分布有2k的自由度。

通过调节每个k阶谱的对谱估计贡献的相对权重，可以获得一个抵抗谱泄露更好的谱估计算法-自适应权重调整谱估计。

其中bk（f）是一个权重函数，它可以针对非白（有色过程）但局部白的过程进一步放置广域的谱泄露。自适应谱估计有一个有效的自由度，通常可以轻微远离标志的 2K 的高分辨率多窗口谱估计 。