AcWing 1134 最短路计数

题目描述：

给出一个 N 个顶点 M 条边的无向无权图，顶点编号为 1 到 N。

问从顶点 1 开始，到其他每个点的最短路有几条。

输入格式

第一行包含 2 个正整数 N,M，为图的顶点数与边数。

接下来 M 行，每行两个正整数 x,y，表示有一条顶点 x 连向顶点 y 的边，请注意可能有自环与重边。

输出格式

输出 N 行，每行一个非负整数，第 i 行输出从顶点 1 到顶点 i 有多少条不同的最短路，由于答案有可能会很大，你只需要输出对 100003 取模后的结果即可。

如果无法到达顶点 i 则输出 0。

数据范围

1≤N≤10^5,
1≤M≤2×10^5

输入样例：

5 7
1 2
1 3
2 4
3 4
2 3
4 5
4 5

输出样例：

1
1
1
2
4

分析：

本题类似于背包问题的方案数，如果是求起点到终点所有的路径条数，直接遍历图的同时统计下方案数即可。现在要求的是最短路径的条数，因此应该在计算最短路径的过程中使用动态规划的思想去求解。本题中涉及的边都是无权边，或者说边权都是1，因此可以直接用bfs来求最短路径。

回忆下基本的BFS过程：将起点加入队列，访问位置为true；当队列非空时不断取队头元素，将队头元素相邻的访问位为false的点都加入到队列中来，同时更新这些点的最短路径。这意味着如果从a扩展到b点时，将b入队了，然后即使从c点扩展到b点，并且这两种扩展的路径中b的最短路径都是相同的，但是由于b由a扩展了已经入队了，再次由c扩展到时不会再次入队了，而统计方案数则要统计所有的最短路径情况。因此，设d[i]为目前起点到i点的最短路径，cnt[i]是目前起点到i点最短路径的条数，如果从上一点u向i点扩展，d[i] < d[u] + 1时，需要更新最短路径长度，d[i] = d[u] + 1，并且此刻到i的最短路径长度应该继承到u的最短路径条数，即cnt[i] = cnt[u]；d[i] == d[u] + 1时，不需要更新最短路径长度，但是需要将到u的最短路径条数加到到i的最短路径条数中，即cnt[i] += cnt[u]。

最短路径长度和最短路径条数更新的条件已经明确了，最后要明确的就是何时将节点加入到队列中？从u扩展到i，但是d[u] + 1 > d[i]，此时自然不用将i入队；d[u] + 1 < d[i]，这时候更新了i点的最短路径长度，因此要将i入队；那么d[u] + 1 == d[i]时呢？此刻由于d[i]与d[u] + 1相等，必然已经经由其他点扩展过加入队列了，而比d[i]更小的d[u]才刚刚出队，d[i]必然还在队列中，因此不用再次将i入队了。这样一来，标志数组st也就没有必要设置了。

对于题目中的重边和自环，重边的存在有可能将最短路径条数翻倍，自环的存在可以忽略，一个点走一遍自环会使得到起点的距离加上1，必然不是最短距离。总的代码如下：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 100005,M = 400005,mod = 100003;
int n,m,idx,h[N],e[M],ne[M];
int d[N],cnt[N];
queue q;
void add(int a,int b){
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void bfs(){
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    d[1] = 0;
    cnt[1] = 1;
    q.push(1);
    while(q.size()){
        int u = q.front();
        q.pop();
        for(int i = h[u];~i;i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if(d[j] > d[u] + 1){
                cnt[j] = cnt[u];
                d[j] = d[u] + 1;
                q.push(j);
            }
            else if(d[j] == d[u] + 1)    cnt[j] = (cnt[j] + cnt[u]) % mod;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    int x,y;
    while(m--){
      scanf("%d%d",&x,&y);  
      add(x,y),add(y,x);
    }
    bfs();
    for(int i = 1;i <= n;i++)   cout<