AcWing 98 分形之城

题目描述

城市的规划在城市建设中是个大问题。

不幸的是，很多城市在开始建设的时候并没有很好的规划，城市规模扩大之后规划不合理的问题就开始显现。

而这座名为 Fractal 的城市设想了这样的一个规划方案，如下图所示：

当城区规模扩大之后，Fractal 的解决方案是把和原来城区结构一样的区域按照图中的方式建设在城市周围，提升城市的等级。

对于任意等级的城市，我们把正方形街区从左上角开始按照道路标号。

虽然这个方案很烂，Fractal 规划部门的人员还是想知道，如果城市发展到了等级 N，编号为 A 和 B 的两个街区的直线距离是多少。

街区的距离指的是街区的中心点之间的距离，每个街区都是边长为 10 米的正方形。
输入格式

第一行输入正整数n，表示测试数据的数目。

以下n行，输入n组测试数据，每组一行。

每组数据包括三个整数 N,A,B, 表示城市等级以及两个街区的编号，整数之间用空格隔开。
输出格式

一共输出n行数据，每行对应一组测试数据的输出结果，结果四舍五入到整数。
数据范围

1≤N≤31,
1≤A,B≤22N,
1≤n≤1000

输入样例：

3
1 1 2
2 16 1
3 4 33

输出样例：

10
30
50
分析：

本题看懂题目花费了大量的时间，后面理解题意如下：
等级一：4个点，等级2:16个点，等级3:64个点。。。至于贯穿这些点的线，是城市编号增长的顺序。
分析从等级一如何到等级2：首先，原来的城区设为A，A顺时针旋转90度再关于中间翻转一下得到等级2的左上角城区，A向右平移得到右上角的城区，A向右平移再向下平移得到右下角的城区，至于左下角城区，一会再说。
数学知识：
我们知道，两点之间距离的平方是对应横纵坐标距离之差的平方和。
坐标旋转公式：比如第一象限的点（1,2），顺时针旋转90度得到的点在第四象限，也就是（2，-1），逆时针旋转90度得到的点在第二象限，也就是（-2,1）。更一般的，（x，y）顺时针旋转90度得到（y，-x），逆时针得到 （-y，x）。（这里yxc大佬在视频里好像把两个弄反了，虽然程序结果正确，但是的确是把顺时针、逆时针旋转的坐标公式写反了）。
最重要的是确定坐标原点以及坐标系，大多数人都是按照二维数组的思想，把左上角第一个点作为原点，往下的方向作为x轴正方向，往右的方向作为y轴正方向，然后旋转都是绕左上角第一个点旋转，这样造成的问题就是左下角的城区在计算坐标时，逆时针旋转会转偏了，不容易计算。
个人浅见是按照各个城区中心为坐标原点。

刚开始一直是以城区一的中心为原点，然后图一的四个点坐标分别为：（-1,1），（1,1），（1,-1），（-1,-1）左上角：（x，y）关于原点顺时针90度旋转得到（y，-x）再关于y轴轴对称变换得到（-y，-x）；右上角：（x，y）向右平移2len个单位得到（x+2len，y），注意这里的len在代码中有定义；右下角：（x，y）向右平移2len个单位得到（x+2len，y）再向下平移2len个单位得到（x+2len，y-2len）；左下角：（x，y）逆时针旋转90度得到 （-y，x），再关于y轴轴对称变换得到（y，x），注意这里四个点的中心是旋转中心，所以只是换了方向，本质四个点还在原地，最后再向下平移2len得到（y，x-2len）.
以上是以第一行第一列的点为坐标原点（旋转中心）经坐标变换得到其他城区的点的，但是并不能ac，因为图一这样旋转变换得到图二没问题，但是图二绕原来的旋转中心再转就会转歪，后面坐标便不对了。解决办法就是一轮坐标变换后便改变坐标原点（旋转中心），比如等级一经坐标变换后得到等级二的四个坐标后立刻调整坐标原点（旋转中心）为等级二的中心，再推出等级三坐标，继续调整坐标原点，以此类推。
上面的调整坐标原点是向右下角移动，具体操作为调整原来的坐标，横坐标减小len，纵坐标增加len，也就是在上面推出的坐标后面对横纵坐标再次变换，注意必须先坐标转换再移动坐标原点，即得到左上角：（-y，-x）改变坐标得到（-y-len，-x+len）；右上角：（x+2len，y）变成（x+len，y+len）；右下角：（x+2len，y-2len）变成 （x+len，y-len）；左下角：（y，x-2len）变成（y-len，x-len）.
注意点：
1.代码中坐标公式是两步得到，第一步旋转平移，第二步移动原点。
2.虽然主体代码和yxc大佬一样，但是输出时是乘以5，看上面我写的关于等级一的四个坐标便可理解，原点不同。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair pll;

pll calc(ll n,ll m){
	if(n == 0)  return {0,0};
	ll len = 1ll << (n-1),cnt = 1ll << (2 * n - 2);
	pll pos = calc(n-1,m%cnt);
	ll x = pos.first,y = pos.second;
	ll z = m / cnt;
	if(z == 0)	return {-y-len,-x+len};
	if(z == 1)	return {x + len,y+len};
	if(z == 2)	return {x + len,y - len};
	return {y-len,x - len};
}

int main(){
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		ll N,A,B;
		cin>>N>>A>>B;
		pll ac = calc(N,A - 1);
		pll bc = calc(N,B - 1);
		double x = ac.first - bc.first;
		double y = ac.second - bc.second;
		printf("%.0lf\n",sqrt(x*x+y*y)*5);
	}
	return 0;
}