AcWing 97. 约数之和（分治法进行等比数列求和）

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把 $A$ 分解质因数，表示为 $p_1^{c_1}\ast p_2^{c_2}\ast ...\ast p_n^{c_n}$

那么 $A^B$ 可表示为 $p_1^{B\ast c_1}\ast p_2^{B\ast c_2}\ast ...\ast p_n^{B\ast c_n}$。

$A^B$ 的所有约数可表示为集合 $\left\{p_1^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast ...\ast p_n^{k_n}\right\}$，其中 $0\le k_i\le B\ast c_i(1\le i\le n)$。

根据乘法分配律，$A^B$ 的所有约数之和就是：

$(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{B\ast c_1})\ast (1+p_2+p_2^2+...+p_2^{B\ast c_2})\ast ...\ast (1+p_n+p_n^2+...+p_n^{B\ast c_n})$

上式中的每个括号内都是等比数列，如果使用等比数列求和公式，需要做除法。而答案还需要对 $9901$ 取模，mod 运算只对加、减、乘有分配率，不能直接对分子分母分别取模后再做除法。

我们可以换一种思路，使用分治法进行等比数列求和。所谓分治法，就是把一个问题划分为若干个规模更小的同类子问题，对这些子问题递归求解，然后在回溯时通过它们推导出原问题的解。

问题：使用分治法求 $sum(p,c)=1+p+p^2+...+p^c=?$

若 $c$ 为奇数：

• $sum(p,c)=(1+p+...+p^{\frac{c-1}{2}})+(p^{\frac{c+1}{2}}+...+p^c)$$
  $=(1+p+...+p^{\frac{c-1}{2}})+p^{\frac{c+1}{2}}\ast (1+p+...+p^{\frac{c-1}{2}})$
  $=(1+p^{\frac{c+1}{2}})\ast sum(p,\frac{c-1}{2})$

若 $c$ 为偶数，类似地：

• $sum(p,c)=(1+p^{\frac{c}{2}})\ast sum(p,\frac{c}{2}-1)+p^c$

每次分治(递归之后)，问题规模均会缩少一半，配合快速幂即可在 $O(logc)$ 的时间内求出等比数列的和。

#include
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using namespace std;

const int mod = 9901;

int Pow(int a, int b)
{
	a %= mod;
	int res = 1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int sum(int p, int c)
{
	if(c==0)
		return 1;
	if(c&1)
		return (1 + Pow(p, (c+1)/2)) * sum(p, (c-1)/2) % mod;
	else
		return (Pow(p, c) + (1 + Pow(p, c/2)) * sum(p, c/2-1)) % mod;
}

int main()
{
	int A, B;
	scanf("%d%d", &A, &B);
	
	int ans = 1;	
	for(int i = 2; i <= A; ++i)
	{
		int cnt = 0;		//A里面有cnt个因子i 
		while(A % i == 0)
		{
			cnt++;
			A /= i;
		}
		if(cnt)
			ans = ans * sum(i, cnt * B) % mod;
	}
	
	if(!A)	ans = 0;
	printf("%d\n", ans);
	
	return 0;
}