SOS(Sum over Subsets)dp————一类状态压缩动态规划

之前补cf场时做到这道题，发现一点思路也没有？然后看了题解发现这是一类codeforces上考烂了的dp专题。所以花了一天时间补了一下。

codeforces上的原博客

SOSdp是一类计算子集贡献的状压dp，如果x&y==x，则我们称y是x的子集（可能不太标准），例如5（101）的子集有4（100）、1 (001)、0。而我们要求的就是

$F[mask]={\sum }_{i\subset mask}A[i]$

如何求解？我们先设$dp[mask][i]$表示二进制从低到高（从0开始计数）已经处理完前i位的情况。例如，$dp[1011011][2]$表示前3项011已经计算完成的状态，所以此时$dp[1011011][2]$代表的是$A[1011011]、A[1011010]、A[1011001]、A[1011000]$的和。
初始，$dp[mask][-1]=A[i]$
然后转移则是如果第i位为0，那么直接转移$dp[mask][i]=dp[mask][i-1]$。表示此时当前位没得选择，只能由前i-1位转移过来。如果第i位为1那么$dp[mask][i]=dp[mask][i-1]+dp[mask\wedge (1<<i)][i-1]$表示当前如果是位1则有1和0两种情况转移过来。
然后我们就可以写代码了。

for(int mask = 0; mask < (1<<N); ++mask){
	dp[mask][-1] = A[mask];	//handle base case separately (leaf states)
	for(int i = 0;i < N; ++i){
		if(mask & (1<<i))
			dp[mask][i] = dp[mask][i-1] + dp[mask^(1<<i)][i-1];
		else
			dp[mask][i] = dp[mask][i-1];
	}
	F[mask] = dp[mask][N-1];
}

然后我们发现，每一个$dp[mask][i]$只由$dp[lastmask][i-1]$转移过来，所以类似背包，我们可以把第二维状态给压没，然后就有下面这个很好写的代码了。

for(int i = 0; i<(1<<N); ++i)
	F[i] = A[i];
for(int i = 0;i < N; ++i) for(int mask = 0; mask < (1<<N); ++mask){
	if(mask & (1<<i))
		F[mask] += F[mask^(1<<i)];
}

ps:那如果反过来，如果我现在要求

$F[mask]={\sum }_{mask\subset i}A[i]$
只需要将

F[mask] += F[mask^(1<<i)];

改成

F[mask^(1<<i)] += F[mask];

即可，因为只有1能对0进行转移，所有0计算出来就不用转移。所以顺序不影响结果。这样我们就可以做博客的套题了。