【运筹学】对偶理论 : 对偶性质 ( 对称性质 | 对称性质推导 )

一、对称性质

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对称性定理 :

• 原问题 ( $LP$ ) 的 对偶 是 对偶问题 ( $DP$ )
• 对偶问题 ( $DP$ ) 的 对偶 是 原问题 ( $LP$ )

原问题 和 对偶问题 互为对偶 ;

对偶问题是对称的

原问题 $LP$ :

$$\begin{array}{l}maxZ=CX\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}AX\le b\\ \\ X\ge 0\end{array}\end{array}$$

对偶问题 $DP$ :

$$\begin{array}{l}minW=b^{T}Y\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}{A}^{T}Y\ge C^T\\ \\ Y\ge 0\end{array}\end{array}$$

二、对称性质推导

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将上述 对偶问题 $DP$ 转为求最大值 ;

$$\begin{array}{l}minW=b^{T}Y\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}{A}^{T}Y\ge C^T\\ \\ Y\ge 0\end{array}\end{array}$$

转换过程 :

• 目标函数转为取最大值 : 转换后的结果如下 , 就是相当于在目标函数的左右两端乘以 $-1$ ;

$$\begin{array}{l}maxZ=-b^{T}Y\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}{A}^{T}Y\ge C^T\\ \\ Y\ge 0\end{array}\end{array}$$

• 根据下面表格中的对偶问题写法 , 写出上述线性规划的对偶问题 :
  • 目标函数由最大值转为最小值 ( 目标函数求最大值前提 ) : $minW=CX$
  • $LP$ 约束条件与 $DP$ 约束变量符号相反 ( 目标函数求最大值前提 ) : 上述线性规划问题的 约束条件是大于等于不等式 , 那么对应的 约束变量小于等于 $0$ ; 约束变量 $X\le 0$
  • $LP$ 约束变量 与 $DP$ 约束条件符号相同 ( 目标函数求最大值前提 ) : 上述线性规划问题的 约束变量大于等于 $0$ , 那么对应的 约束条件也是大于等于不等式 ; 约束条件是 $AX\ge -b$
  • 最终得到的线性规划为 :

$$\begin{array}{l}minW=CX\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}AX\ge -b\\ \\ X\le 0\end{array}\end{array}$$

原问题 $LP$	对偶问题 $DP$
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目标函数求最大值 $maxZ$	目标函数求最小值 $minW$
–	–
约束条件常数项	目标函数系数
目标函数系数	约束条件常数项
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$m$ 个约束条件	$n$ 个约束变量
$n$ 个约束变量	$m$ 个约束条件
–	–
约束条件是小于等于不等式 $\le$	约束变量是大于等于 $\ge 0$ 的
约束条件是大于等于不等式 $\ge$	约束变量是小于等于 $\le 0$ 的
约束条件是等式	约束变量是自由变量 ( 没有约束 )
–	–
约束变量是大于等于 $\ge 0$ 的	约束条件是大于等于不等式 $\ge$
约束变量是小于等于 $\le 0$ 的	约束条件是小于等于不等式 $\le$
约束变量是自由变量 ( 没有约束 )	约束条件是等式

记住一条 : 目标函数求最大值 , $LP$ 约束条件与 $DP$ 约束变量符号相反 , $LP$ 约束变量 与 $DP$ 约束条件符号相同 ;

对如下线性规划作代换 :

$$\begin{array}{l}minW=CX\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}AX\ge -b\\ \\ X\le 0\end{array}\end{array}$$

代换内容 : 引入变量 $X^{\prime }=-X$ , 使用 $-X^{\prime }$ 替换上述线性规划中的 $X$ ;

• 目标函数 : 代换后为 $minW=-C{X}^{\prime }$ , 此时两边乘以 $-1$ 即可得到 $maxZ=C{X}^{\prime }$ ;
• 约束方程 : 代换后为 $-A{X}^{\prime }\ge -b$ , 左右两边乘以 $-1$ 即可得到 $A{X}^{\prime }\le b$ ;
• 约束变量 : 代换后为 $-X^{\prime }\le 0$ , 左右变量乘以 $-1$ 即可得到 $X^{\prime }\ge 0$

最终代换结果为 :

$$\begin{array}{l}maxZ=C{X}^{\prime }\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}A{X}^{\prime }\le b\\ \\ X^{\prime }\ge 0\end{array}\end{array}$$