一、快速幂
给定三个正整数\(a,b,p\),求出\(a^b%p\)的值。
代码如下:
int power(int a, int b, int p)
{
int ans = 1 % p;
while(b)
{
if(b & 1) ans = (long long) ans * a % p;
b >>= 1;
a = (long long) (a * a) % p;
}
return ans;
}
二、矩阵乘法+快速幂
给一个矩阵\(A\),求出\(A^k\)的值(矩阵中所有元素都对\(mod\)取模)。
代码如下:
struct matrix
{
int l, w;
long long mat[111][111];
matrix()
{
memset(mat, 0, sizeof mat);
}//初始化
} A;
matrix create(int l, int w)
{
matrix c;
c.l = l, c.w = w;
for(int i = 0; i < l; ++ i)
for(int j = 0; j < w; ++ j)
c.mat[i][j] = 1;
return c;
}
matrix operator *(matrix a, matrix b)
{
matrix c;
c.l = a.l;
c.w = b.w;
for(int i = 0; i < a.l; ++ i)
for(int j = 0; j < c.w; ++ j)
for(int k = 0; k < a.w; ++ k)
c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
return c;
}
//calculate a ^ b % mod
matrix mat_power(matrix a, long long b)
{
matrix ans;
ans.l = n, ans.w = n;
if(b == 0) return create(n, n);
for(int i = 0; i < n; ++ i) ans.mat[i][i] = 1;
while(b)
{
if(b & 1) ans = ans * a;//跟普通快速幂一致
b >>= 1;
a = a * a;
}
return ans;
}
例题:矩阵加速
网址:https://www.luogu.com.cn/problem/P1939
题目描述
已知一个数列\(a\),它满足:
\(a_x= \begin{cases} 1 & x \in\{1,2,3\}\\ a_{x-1}+a_{x-3} & x \geq 4 \end{cases}\)
求\(a\)数列的第\(n\)项对\(10^9+7\)取余的值。
输入格式
第一行一个整数\(T\),表示询问个数。
以下\(T\)行,每行一个正整数\(n\)。
输出格式
每行输出一个非负整数表示答案。
输入输出样例
输入 #1
3
6
8
10
输出 #1
4
9
19
说明/提示
对于\(30%\)的数据\(n≤100\);
对于\(60%\)的数据\(n≤2×10^7\);
对于\(100%\)的数据\(1≤T≤100\),\(1≤n≤2×10^9\)
构造矩阵Q即可。
代码如下:
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int mod = 1000000007;
int n;
struct matrix
{
int l, w;
long long mat[110][110];
matrix()
{
memset(mat, 0, sizeof(mat));
}
} f, Q;
matrix create(int l)
{
matrix x;
x.l = l;
x.w = l;
for(int i = 0; i < l; ++ i) x.mat[i][i] = 1;
return x;
}
matrix operator *(matrix a, matrix b)
{
matrix c;
c.l = a.l, c.w = b.w;
for(int i = 0; i < c.l; ++ i)
for(int j = 0; j < c.w; ++ j)
for(int k = 0; k < a.w; ++ k)
c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
return c;
}
struct matrix mat_power(int b)
{
matrix ans = f;
while(b)
{
if(b & 1) ans = ans * Q;
b >>= 1;
Q = Q * Q;
}
return ans;
}
int main()
{
f.l = 1, f.w = 3;
f.mat[0][0] = 1, f.mat[0][1] = 1, f.mat[0][2] = 1;
int T;
scanf("%d", &T);
while(T --)
{
Q.l = Q.w = 3;
Q.mat[0][0] = Q.mat[0][1] = 0, Q.mat[0][2] = Q.mat[1][0] = 1, Q.mat[1][1] = Q.mat[1][2] = Q.mat[2][0] = 0, Q.mat[2][1] = Q.mat[2][2] = 1;
scanf("%d", &n);
if(n <= 3) puts("1");
else printf("%d\n", mat_power(n - 3).mat[0][2]);
}
return 0;
}