时间序列乘法模型因素分解、预测

1.预测方法的选择

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1.1时间序列法

当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋势，并且有季节波动时，构造时间序列分解模型：

• 加法模型$Y_t=T_t+S_t+C_t+I_t$
• 乘法模型$Y_t=T_t\ast S_t\ast C_t\ast I_t$

1.2趋势外推法

当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋势，并且没有明显的季节波动时，又能找到一条合适的函数曲线反映这种变化趋势，建立趋势模型
$$y=f(t)$$下面就是寻找适合的函数，比如多项式曲线预测模型（1次，2次…n次），指数曲线预测模型，对数曲线预测模型，生长曲线预测模型，龚珀兹曲线预测模型。如何确定模型函数：

• 通过图形识别法（绘制散点图观察趋势比较曲线模型）
• 差分法（利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列）

注意：结合差分计算表，相当容易理解。
时间序列一阶差分大致相等时，就可以配一次（线性模型）进行预测。
时间序列二阶差分大致相等时，就可以配二次（抛物线模型）进行预测。
时间序列一阶差比率大致相等时，就可以配指数曲线模型进行预测。
时间序列一阶差的一阶比率大致相等，就可以配修正指数曲线模型进行预测。

2.时间序列乘法模型分解实例

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3年多营业额的季度数据，以此来分解出$Y_t=T_t\ast S_t\ast C_t\ast I_t$中的季节指数$S$，长期趋势$T$、周期变动$C$、不规则变动$I$。

2.1计算季节指数S

1. 先用移动平均法剔除长期趋势和周期变动，再用季平均法求出季节指数。
   一年有四个季度，第一次移动平均项数取4，做两次移动，第二次移动平均次数取2，移动平均结果得到了不含季节因素和不规则变动因素的第五列序列$TC$。
2. 通过 $\frac{Y}{TC}$ 得到了只含有季节因素的和不规则因素的序列$SI$，将其重新排列得到：
   
   经过修正系数1.0120修正后得到一、二、三、四季度的季度指数如上表。

2.2计算长期趋势T

利用营业额$Y$和时间$t$的线性回归模型计算，得到第七列长期趋势T，具体模型回归系数求解方法见博客链接。

2.3计算周期变动因素C

利用$\frac{TC}{T}$即可得到表中第8列周期变动因素C。

2.4不规则变动因素I

将时间序列的$T、S、C$分解出来后，剩余的即为不规则变动$I=\frac{Y}{T\ast S\ast C}$

3.时间序列模型预测

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求出上述四个因素后可以用该乘法模型$Y_t=T_t\ast S_t\ast C_t\ast I_t$预测。
一般预测时，无法预测不规则变动因素$I$，所以模型简为：

$$Y_t=T_t\ast S_t\ast C_t$$

$T_t$可以通过回归方程得出，$S_t$可以通过上述季平均法得出，$C_t$采用历史数据主观判断得出。这样，2021年的因变量可以进行预测。