时间序列模型

1. 时间序列分析方法概述

    一个时间序列往往是一下几类变化形式的叠加或耦合。

    （1）长期趋势变动：反映主要变化趋势；

    （2）季节变动

    （3）循环变动

    （4）不规则变动

    使用Ti表示长期趋势预测，St表示季节性变动，Ct表示循环变动，Rt表示随机干扰项。常见的时间序列模型有：

    （1）加法模型：  Yt = Tt + St + Ct + Rt

    （2）乘法模型 ： Yt = Tt * St  * Ct * Rt 

    （3）混合模型:    Yt = Tt * St + Rt                  Yt =  St + Tt * Ct * Rt

    

    在预测时间范围内，无突然变动且随机变动方差较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来，可使用一些经验方法进行预测：

1.1  移动平均法

           

                  

        

    最近N期序列的平均值作为未来各期的预测结果。当历史序列的基本趋势变化较大且随机变动较多时，N取值应该大一点。在有确定的季节变动时，移动平均的项数应该取周期长度。最佳N值就是比较多模型的预测误差，选取最小的一个。

        

1.2 指数平滑法

    一次移动平均是对最近N期数据都加权为1/N，N期以前的权重都为0。二次及更高的移动平均的权重不是1/N，次数越高权重越复杂，但是权重是对称的，两端权重小，中间权重大，不符合一般系统的动态性。

    一般历史数据对未来值的影响是按时间增长而降低的，更切合实际的方法是对观测值按时间的顺序进行加权平均作为预测值。

        

         

    alpha的取值一般在0.1 -- 0.3。alpha值越大，加权系数衰减的越快，所以alpha的大小起到了控制参数计算的历史数据的个数的作用。

   1、 如果序列平稳，预测误差由随机误差造成，这时alpha取值应该小一点，减少修正幅度，让模型能包含更多的历史信息

   2、 如果预测目标趋势发生系统的变化，此时alpha应取值大一点。

 

2. 平稳时间序列模型

    平稳： 宽平稳，序列的统计特性不随时间的平移而变化，既均值和协方差不随时间的平移而变化。

     自回归模型（auto regressive model）AR模型，移动平均模型（moving average model） MA模型， 自回归移动平均模型（auto regressive moving average model）ARMA模型。

    （1）. 一般自回归模型 AR （n）

    

      

    （2）.  移动平均模型MA（m）

    

    （3）. 自回归移动平均模型

    

    对于平稳系统来说，AR, MA, ARMA(n,m)模型都是ARMA(n,n-1)模型的特例。

3. ARMA模型的特性

    时间序列中的时域分析中，线性差分方程是极为有效的工具。任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程。

3.1 AR（1）系统的格林函数

   格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数

    

     

    

    

3.2 ARMA(2,1)系统的格林函数

    

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