洛谷P3327：[SDOI2015]约数个数和 （莫比乌斯反演）

题目传送门：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3327

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题目分析：这题我又没有自己想出来……
主要是本题要用到一个很神的结论：

d(ij)=∑x|i∑y|j[(x,y)=1]

这个是怎么推出来的呢？
我们考虑质数p对d(ij)的贡献，假设i的质因数分解中有k个p，j的质因数分解中q个p，那么d(ij)中就会有因数k+q+1，而：

k+q+1=∑x=0k∑y=0q[(px,py)=1]

这就相当于一个(k+1)*(q+1)的矩形，只取了左下角的”L”字型的一块。
现在我们假设 i=pk11∗pk22……pknn,j=pq11∗pq22……pqnn ，那么我们逐个考虑每一个质数 pi ，得到一条式子：

d(ij)=∑x1=1k1∑y1=1q1[(px11,py11)=1]……∑xn=1kn∑yn=1qn[(pxnn,pynn)=1]

现在我们记 x=px11px22……pxnn,y=py11py22……pynn ，则变成：

d(ij)=∑x|i∑y|j[(x,y)=1]

是不是很神奇？

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现在回到原题，经上面变形，我们要求：

∑i=1n∑j=1m∑x|i∑y|j[(x,y)=1]

我们将x,y的枚举拉到i,j的前面，得到：

∑x=1n∑y=1m[(x,y)=1]⌊nx⌋⌊my⌋

我们用莫比乌斯函数将中括号内的东西替代掉，得到：

∑x=1n∑y=1m∑k|x,k|yμ(k)⌊nx⌋⌊my⌋

将k的枚举拉到前面：

∑k=1min(n,m)μ(k)∑x=1⌊nk⌋⌊nkx⌋∑y=1⌊mk⌋⌊mky⌋

我们设 g(n)=∑ni=1⌊ni⌋ ，那么右边的部分变成 g(⌊nk⌋)g(⌊mk⌋) ，于是我们左边用下底函数分块，右边预处理g函数即可。
我们可以用 O(nn√) 通过下底函数分块求出每一个g，但我们发现其实g函数就是约数个数的前缀和，直接线性筛即可。

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CODE:

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=50005;
typedef long long LL;

int sum[maxn];
bool vis[maxn];
int prime[maxn];
int cur=0;

LL g[maxn];
int t,n,m;
LL ans;

void Preparation()
{
    for (int i=1; i0;
        int last;
        for (int j=1; j<=i; j=last+1)
        {
            last=i/(i/j);
            g[i]=g[i]+(long long)( i/j*(last-j+1) );
        }
    }
    sum[1]=1;
    for (int i=2; iif (!vis[i]) sum[i]=-1,prime[++cur]=i;
        for (int j=1; j<=cur && i*prime[j]int k=i*prime[j];
            vis[k]=true;
            if (i%prime[j]) sum[k]=-sum[i];
            else
            {
                sum[k]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for (int i=2; i1];
}

int main()
{
    freopen("c.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);

    Preparation();
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if (n>m) swap(n,m);
        ans=0;
        int last;
        for (int i=1; i<=n; i=last+1)
        {
            last=min( n/(n/i) , m/(m/i) );
            ans=ans+( (long long)(sum[last]-sum[i-1])*g[n/i]*g[m/i] );
        }
        cout<return 0;
}