【LuoguP2257】YY的GCD

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题目描述

每次给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对。

题解

首先想到枚举质数，然后就可以当作之前做过的莫比乌斯反演的题来做。

∑pmin(N,M)∑d=1min(Np,Mp)μ(d)∗Npd∗Mpd ∑ p m i n ( N , M ) ∑ d = 1 m i n ( N p , M p ) μ ( d ) ∗ N p d ∗ M p d

复杂度为 O(T∗PNp‾‾√)P是质数个数 O ( T ∗ P N p ) P 是 质 数 个 数 ,显然会T，考虑优化
令T=pd,则:

∑pmin(N,M)∑d=1min(Np,Mp)μ(d)∗NT∗MT ∑ p m i n ( N , M ) ∑ d = 1 m i n ( N p , M p ) μ ( d ) ∗ N T ∗ M T

∑Tmin(N,M)NT∗MT∑p|Tμ(Tp) ∑ T m i n ( N , M ) N T ∗ M T ∑ p | T μ ( T p )

后面那一坨筛出来就可以了。
复杂度 O(TN‾‾√) O ( T N )

#include
#include
#include
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#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+10;
int mu[N];int pri[N];int cnt;bool vis[N];
int f[N];//f[T]=sigma(mu[T/p])
int sum[N];//f的前缀和
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();int t=1;
    for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
    return x*t;
}
inline void prepara()
{
    vis[1]=1;mu[1]=1;
    for(register int i=2;iif(!vis[i]) {mu[i]=-1;pri[++cnt]=i;f[i]=1;}
        for(register int j=1;j<=cnt&&(1ll*i*pri[j]register int x=i*pri[j];
            vis[x]=1;
            if(i%pri[j]==0) {
                f[x]=mu[i];//包含了多个相同p,只有mu[x/p] 即 mu[i]可能有贡献
                mu[x]=0;break;
            }
            mu[x]=-mu[i];
            f[x]=mu[i]-f[i];//容易得出
        }
    }
    for(register int i=1;i1]+f[i];
}
inline ll calc(int a,int b)
{
    if(a==0) return 0;
    register ll res=0;
    register int l,r;
    for(l=1;l<=a;l=r+1)
    {
        r=min(a/(a/l),b/(b/l));if(r>a) r=a;
        res+=1ll*(sum[r]-sum[l-1])*(a/l)*(b/l);
    }
    return res;
}
int main()
{
    prepara();
    int T=read();
    while(T--)
    {
        register int a,b;
        a=read();b=read();
        if(a>b) swap(a,b);
        register ll ans=0;
        ans=calc(a,b);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}