OpenGL系列教程之四：OpenGL 变换

相关主题：OpenGL 渲染管线，OpenGL 投影矩阵，OpenGL矩阵类

下载：matrixModelView.zip,matrixProjection.zip

• 概述
• OpenGL 变换矩阵
• 例子：GL_MODELVIEW 矩阵
• 例子：GL_PROJECTTION 矩阵

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概述

在OpenGL渲染管线中几何数据（顶点位置和法向量）在光栅化处理之前会先经过顶点操作和图元装配。

OpenGL 顶点变换

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物体坐标系(Object Coordinates)

这是物体的局部坐标系，并且表示物体未经过任何变换前的初始位置和朝向。为了变换物体，使用glRotatef(),glTranslatef(),glScalef()等函数。

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人眼坐标系(Eye Coordinates)

这是将GL_MODELVIEW（模型视图矩阵）与物体坐标相乘产生的。在OpenGL中物体从物体自身的坐标变换到人眼坐标使用GL_MODELVIEW矩阵。GL_MODELVIEW矩阵是将模型矩阵和视图矩阵相乘的结果（）。模型变换是将物体坐标变换到世界坐标，视图变换是将世界坐标变换到人眼坐标。

注意在OpenGL中没有单独的照相机（视图）矩阵。因此，为了模仿视图变换，场景（三维物体和光照）必须使用视图变换的反转进行变换。换句话说，OpenGL定义的照相机在人眼坐标系中一直在(0,0,0)位置并且指向Z轴的负半轴，并且不能进行变换。模型视图矩阵的更多详细细节。

法向量为了后续的光照计算也会从物体坐标系变换到人眼坐标系。注意法向量和顶点变换的不同方式。它是将GL_MODELVIEW的逆矩阵的转置矩阵乘以法向量。法向量变换的更多细节。

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裁剪坐标(Clip Coordinates)

将GL_PROJECTTION与人眼坐标相乘就得到了裁剪坐标。GL_PROJECTION（投影矩阵）定义了视景体；几何数据怎么被投影到屏幕中（透视投影或正投影）。它被称为裁剪坐标是因为变换后的顶点坐标(x,y,z)经过了裁剪（通过与-w和+w的比较）。投影矩阵的更多细节。

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归一化的设备坐标(Normalized Device Coordinates(NDC))

将裁剪坐标与w相除就得到归一化的设备坐标。它被称为透视除法。它更像窗口坐标，但是还没有被平移和缩放到匹配窗口。现在3个坐标轴上变量的取值被归一化到-1到1之间。

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窗口坐标(Window Coordinates(Screen Coordinates))

这是将归一化的设备坐标应用到视口变换而产生的。归一化的设备坐标经过缩放了平移以匹配窗口。窗口坐标最后被传递给OpenGL渲染管线中光栅化程序生成片元。glViewport()命令被用来定义最后渲染出来的图像将要映射到的长方形区域。glDepthRange()命令被用来定义窗口坐标的z值的范围。窗口坐标是经过下面这两个函数变换得到的

glViewport(x,y,w,h);

glDepthRange(n,f);

视口变换公式是一个从NDC到窗口坐标的简单的线性变换。

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OpenGL变换矩阵

OpenGL 变换矩阵

OpenGL使用一个4*4的矩阵来表示变换。注意矩阵中的16个元素是按列的顺序存储在一个一维数组中。如果你需要将他转换成标准型，即按行存储，则需要将这个矩阵转置。

OpenGL有4中不同类型的矩阵:GL_MODELVIEW（模型视图矩阵）,GL_PROJCETION（投影矩阵）,GL_TEXTURE（纹理矩阵）,GL_COLOR（颜色矩阵）。你可以通过使用glMatrixMode()函数改变当前的矩阵类型。例如，为了选中GL_MODELVIEW矩阵，使用glMatrixMode(GL_MODELVIEW).

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模型-视图 矩阵(GL_MODELVIEW)

GL_MODEVIEW矩阵联合和视图矩阵和模型矩阵到一个矩阵中。为了变换视图（相机），你需要将整个场景按照视图矩阵的逆进行移动。gluLookAt()函数是用来设置视图变换的。

GL_MODELVIEW矩阵的4列

上图中(m₁₂,m₁₃,m₁₄)表示glTranslatef()函数进行的平移变换。m₁₅是齐次坐标，主要用来进行投影变换。

3个元素集，(m₀,m₁,m₂), (m₄,m₅,m₆)和(m₈,m₉,m₁₀)是用来表示欧氏变化，如旋转（glRoattef()），和缩放（glScalef()）。注意这3个集合实际上表示的是3个正交的轴。

• (m₀,m₁,m₂)：+X轴，指向右边的向量，默认为(1,0,0)
• (m₄,m₅,m₆)：+Y轴，指向上边的向量，默认为(0,1,0)
• (m₈,m₉,m₁₀)：+Z轴，指向前边的向量，默认为(0,0,1)

我们可以使用角度或观察点直接构造GL_MODELVIEW矩阵而不使用OpenGL的变换函数。下面是一些构造GL_MODELVIEW矩阵的有用的代码：

• 角度到坐标轴
• 观察点到坐标轴
• 矩阵类

注意如果多个变换应用到顶点中时OpenGL是按照相反的顺序执行的。例如，如果一个顶点首先经过矩阵M_A变换，然后经过矩阵M_B变换，然后OpenGL在将矩阵与顶点相乘之前会首先执行M_BxM_A操作。因此，最后的变换会首先被应用，最早的变换会最后被应用。

// 注意对象首先被平移，然后被旋转
glRotatef(angle, 1, 0, 0);   // 将对象绕x轴旋转angle角度
glTranslatef(x, y, z);       // 移动对象到(x,y,z)处
drawObject();

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投影矩阵(GL_PROJECTION)

GL_PROJECTION矩阵被用来定义截头锥。这个截头锥决定了哪些物体或物体的哪些部分会被裁剪掉。它也定义了三维场景将会如何被映射到屏幕上。（更多细节参考如果构造投影矩阵）

OpenGL为GL_PROJCETION变换提供了两个函数。glFrustum()用来产生一个透视投影，glOrtho()用来产生一个正投影。两个函数都需要6个参数来指定6个裁剪面：左面，右面，上面，近面，远面。截头锥的8个顶点如下图：

OpenGL透视投影体

近（远）面的坐标计算可以通过相似三角形计算得到，如左面的计算方法：

对正投影而言，相似三角形的比例是1，因此远平面的左，右，上，下点的坐标和近平面是一样的。如下图：

OpenGL正投影体

你 也可以传递更少的参数给gluPerspective()函数和gluOrtho2D()函数。gluPerspective()函数只需要4个参数；视线的垂直夹角，面的宽高比，视点距近裁剪面和远裁剪面的距离。4个参数与6个参数之间的相互转换的代码如下：

// 这创建了一个对称的截头锥
// 它将给定的4个参数(fovy, aspect, near, far)转换
// 成glFrustum()所需的6个参数：(l, r, b, t, n, f） 
void makeFrustum(double fovY, double aspectRatio, double front, double back)
{
    const double DEG2RAD = 3.14159265 / 180;

    double tangent = tan(fovY/2 * DEG2RAD);   // fovY的一半的正切，fovY是视线的夹角
    double height = front * tangent;          // 近裁剪面的高度的一半
    double width = height * aspectRatio;      // 近裁剪面的宽度的一半

    // params: left, right, bottom, top, near, far
    glFrustum(-width, width, -height, height, front, back);
}

然而，如果你需要创建一个不对称的视景体那么必须直接使用glFrustum()函数。例如，如果你需要渲染一个宽屏场景到两个邻接的屏幕中，你可以将视景体划分成两个不对称的视景体（左边和右边），然后将场景分别渲染到两个视景体中，如下图：

非对称视景体的例子

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纹理矩阵（GL_TEXTURE）

纹理坐标(s,t,r,q)在纹理映射之前会和GL_TEXTURE(纹理矩阵)相乘。默认情况下它是归一化的，所以纹理将会准确映射物体上你指定的纹理坐标处。通过修改GL_TEXTURE，你可以移动，旋转，拉伸，收缩纹理。

// 将纹理绕x轴旋转
glMatrixMode(GL_TEXTURE);
glRotatef(angle, 1, 0, 0);

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颜色矩阵(GL_COLOR)

颜色值(r,g,b,a)会和矩阵GL_COLOR相乘。它可以被用来交换颜色空间和颜色值。GL_COLOR矩阵不会被普遍使用因为它需要GL_ARB_imaging扩展支持。

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其他一些矩阵操作
glPushMatrix():将当前矩阵压入当然矩阵栈中

glPopMatrix():从当前矩阵栈中弹出一个元素

glLoadIdentify():将当前矩阵设置为单位矩阵（归一化）

glLoadMatrix{fd}(m):将当前矩阵替换成矩阵m

glLoadTransposeMatrix{fd}(m):将当前矩阵替换成以行为主的矩阵m

glMultMatrix{fd}(m):m乘以当前矩阵，并将结果设置为当前矩阵

glMultTransposeMatrix{fd}(m):将以行为主的矩阵乘以当前矩阵，并将结果设置为当前矩阵

glGetFloatv(GL_MODELVIEW_MATRIX,m):返回模型视图矩阵到矩阵m

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例子：模型视图矩阵

这个例子程序显示了怎么使用glTranslatef()函数和glRotatef()函数来操纵模型视图矩阵。

下载源代码和可执行程序：matrixModelView.zip matrixModelView_mac.zip(OS X 10.6+)

注意无论在Mac下还是在Windows下所有的OpenGL函数调用都是在ModelGL.h和ModelGL.cpp中实现的，在两个包中所有文件都是相同的。

这个例子程序使用一个自定义的4*4矩阵类和OpenGL默认的矩阵模式来指定模型变换和视图变换。ModelGL.cpp中定义了3个矩阵对象:matrxModel,matrixView和matrixModelView。每个矩阵存储了前乘的变换并使用glLoadMatrix()函数将矩阵中的元素传递到OpenGL中。实际的绘图模式如下：

...
glPushMatrix();

// 为视图变换设置视图矩阵
glLoadMatrixf(matrixView.getTranspose());

// 在模型变换之前绘制最原始的网格
drawGrid();

// 为模型变换和视图变换设置模型视图矩阵
// 从物体坐标系变换到人眼坐标系
glLoadMatrixf(matrixModelView.getTranspose());

// 模型视图变换之后绘制一个茶壶
drawTeapot();

glPopMatrix();
...

相同的功能使用OpenGL默认的矩阵操作函数如下：

...
glPushMatrix();

// 将模型视图矩阵归一化
glLoadIdentity();

// 首先，将视图从物体坐标系变换到人眼坐标系
// 注意所有的值都是负数，因为我们是使用视图矩阵的逆来移动整个场景
glRotatef(-cameraAngle[2], 0, 0, 1); // roll
glRotatef(-cameraAngle[1], 0, 1, 0); // heading
glRotatef(-cameraAngle[0], 1, 0, 0); // pitch
glTranslatef(-cameraPosition[0], -cameraPosition[1], -cameraPosition[2]);

// 在模型变换之前绘制最原始的网格
drawGrid();

// 模型变换
// GL_MODELVIEW矩阵的结果如下:
// ModelView_M = View_M * Model_M
glTranslatef(modelPosition[0], modelPosition[1], modelPosition[2]);
glRotatef(modelAngle[0], 1, 0, 0);
glRotatef(modelAngle[1], 0, 1, 0);
glRotatef(modelAngle[2], 0, 0, 1);

// 模型视图变换之后绘制一个茶壶
drawTeapot();

glPopMatrix();
...

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例子：投影变换

这个例子程序显示了如何使用glFrustum()函数和glOrtho()函数来操作投影变换。

下载源代码和可执行程序：matrixProjection.zipmatrixProjection_mac.zip(OS X 10.6+)

再次说明，ModelGL.h和ModelGL.cpp在Window和Mac下是一样的，并且所有的OpenGL函数调用都在这两个文件中。

ModelGL类有一个自定义的矩阵对象，matrixProjection，和两个成员函数，setFrustum()和setOrthoFrustum()，这两个函数等价于glFrustum()和glOrtho()。

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 使用6个参数像glFrustum()函数一样设置一个透视的视景体
// (left, right, bottom, top, near, far)
// 注意：这是以行为主的标记方式，OpenGL需要先将其转置
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void ModelGL::setFrustum(float l, float r, float b, float t, float n, float f)
{
    matrixProjection.identity();
    matrixProjection[0]  = 2 * n / (r - l);
    matrixProjection[2]  = (r + l) / (r - l);
    matrixProjection[5]  = 2 * n / (t - b);
    matrixProjection[6]  = (t + b) / (t - b);
    matrixProjection[10] = -(f + n) / (f - n);
    matrixProjection[11] = -(2 * f * n) / (f - n);
    matrixProjection[14] = -1;
    matrixProjection[15] = 0;
}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 使用6个参数像glOrtho()函数一样设置一个正投影的视景体
// (left, right, bottom, top, near, far)
// 注意：这是以行为主的标记方式，OpenGL需要先将其转置
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void ModelGL::setOrthoFrustum(float l, float r, float b, float t, float n,
                              float f)
{
    matrixProjection.identity();
    matrixProjection[0]  = 2 / (r - l);
    matrixProjection[3]  = -(r + l) / (r - l);
    matrixProjection[5]  = 2 / (t - b);
    matrixProjection[7]  = -(t + b) / (t - b);
    matrixProjection[10] = -2 / (f - n);
    matrixProjection[11] = -(f + n) / (f - n);
}
...

// 将投影矩阵传递给OpenGL
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadMatrixf(matrixProjection.getTranspose());
...

构造一个16个元素的GL_PROJECTION矩阵可以参考这儿。