2020牛客暑期多校训练营（第六场）B.Binary Vector

B.Binary Vector

题目链接-B.Binary Vector


题目大意
每天$Roundgod$从维度为n，每一位由01组成的所有向量的集合中随机选择一个二进制向量，现在他想知道$n$天中选取$n$个线性独立向量的概率，答案如果是$\frac{P}{Q}（P,Q互质）$，就输出$P\cdot Q^{-1}(\text{mod}10^9+7)$

解题思路

• 通过观察样例和打表可以得出当$i>1$时，假设$f(i-1)=\frac{x}{y}$，则$f(i)=\frac{x(2x+1)}{y\times 2y}=f(i-1)\frac{2^i-1}{2^i}$，可以发现答案每次就是乘上一个$\frac{2^i-1}{2^i}$，而观察$\frac{2^i-1}{2^i}$发现每次要多除一次$2$，那就多乘一次$2$的逆元$inv(2)$
• 所以我们只需要一个复杂度为$O(n)$的递推，在这个过程维护$2$的幂与$inv(2)$的幂就行了
• 另：$500000004$是$2$的逆元
• 具体操作见代码

附上代码

#pragma GCC optimize("-Ofast","-funroll-all-loops")
#include
#define lowbit(x) (x &(-x))
#define endl '\n'
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int dir[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1};
const double PI=acos(-1.0);
const double e=exp(1.0);
const double eps=1e-10;
const int M=1e9+7;
const int N=2e7+10;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef unsigned long long ull;
inline void read(int &x){
    char t=getchar();
    while(!isdigit(t)) t=getchar();
    for(x=t^48,t=getchar();isdigit(t);t=getchar()) x=x*10+(t^48);
}
ll ans[N],x=5e8+4,y=5e8+4;
int main(){

	int t;
	read(t);
	ans[1]=x;
	for(int i=2;i<=2e7;i++){
		x=x*y%M;
		ans[i]=(ans[i-1]-ans[i-1]*x)%M+M;
	}
	for(int i=2;i<=2e7;i++)
		ans[i]^=ans[i-1];
	while(t--){
		int n;
		read(n);
		printf("%lld\n",ans[n]);
	}
	return 0;
}