六轴机器人轨迹规划之三次多项式轨迹插值

1.轨迹规划的定义
轨迹规划(trajectory planning)是运动规划(motion planning)研究的主要内容。运动规划指的是运动插补，在起始点和终止点之间插入中间点序列，实现沿着轨迹的平稳运动。运动控制包含路径规划(path planning)和轨迹规划，路径规划是规划位置，在起终点之间经过的路径点，轨迹规划是规划时间，将路径点与时间相对应。
对于我们的六轴机器人而言轨迹规划可以分为：关节空间轨迹规划和笛卡尔空间轨迹规划。关节空间轨迹规划是把机器人的关节变量变换成跟时间的函数，然后对角速度和角加速度进行约束。笛卡尔空间轨迹规划是把机器人末端在笛卡尔空间的位移、速度和加速度变换成跟时间的函数关系。
2.数学基础
三次多项式插值（适用于起点和终点速度为零的情况，约束关节在起点和终点的角度值，规定轨迹两端点位置角速度为定值）。
设关节角满足下式

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3θ˙(t)=a1+2a2t+3a3t2θ¨(t)=2a2+6a3t { θ ( t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 θ ˙ ( t ) = a 1 + 2 a 2 t + 3 a 3 t 2 θ ¨ ( t ) = 2 a 2 + 6 a 3 t

将相邻两个点看作一小段轨迹的起点和终点分别用 θ0 θ 0 和 θf θ f 表示，约束起始速度为 v0 v 0 ，终止速度为 vf v f

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ(t0)=θ0θ(tf)=θfθ˙(t0)=v0θ˙(tf)=vf { θ ( t 0 ) = θ 0 θ ( t f ) = θ f θ ˙ ( t 0 ) = v 0 θ ˙ ( t f ) = v f

将约束条件代入函数，可以求得系数（为简便计算，设 t0=0 t 0 = 0 ）

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a0=θ0a1=v0a2=3t2f(θf−θ0)−1tf(2v0+vf)a3=2t3f(θ0−θf)+1t2f(v0+vf) { a 0 = θ 0 a 1 = v 0 a 2 = 3 t f 2 ( θ f − θ 0 ) − 1 t f ( 2 v 0 + v f ) a 3 = 2 t f 3 ( θ 0 − θ f ) + 1 t f 2 ( v 0 + v f )

三次多项式规划轨迹如下

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ(t)=θ0+v0t+[3t2f(θf−θ0)−1tf(2v0+vf)]t2+[2t3f(θ0−θf)+1t2f(v0+vf)]t3θ˙(t)=v0+2[3t2f(θf−θ0)−1tf(2v0+vf)]t+3[2t3f(θ0−θf)+1t2f(v0+vf)]t2θ¨(t)=2[3t2f(θf−θ0)−1tf(2v0+vf)]+6[2t3f(θ0−θf)+1t2f(v0+vf)]t { θ ( t ) = θ 0 + v 0 t + [ 3 t f 2 ( θ f − θ 0 ) − 1 t f ( 2 v 0 + v f ) ] t 2 + [ 2 t f 3 ( θ 0 − θ f ) + 1 t f 2 ( v 0 + v f ) ] t 3 θ ˙ ( t ) = v 0 + 2 [ 3 t f 2 ( θ f − θ 0 ) − 1 t f ( 2 v 0 + v f ) ] t + 3 [ 2 t f 3 ( θ 0 − θ f ) + 1 t f 2 ( v 0 + v f ) ] t 2 θ ¨ ( t ) = 2 [ 3 t f 2 ( θ f − θ 0 ) − 1 t f ( 2 v 0 + v f ) ] + 6 [ 2 t f 3 ( θ 0 − θ f ) + 1 t f 2 ( v 0 + v f ) ] t

当速度为零时适用于一段轨迹的起终点，不为零时适用于一段轨迹的经过点。
3.matlab代码实现

序号	位置	速度	时间
1	0	0	0
2	100	0	3

clear;
clc;
q0=0;
q1=100; %指定起止位置
t0=0;
t1=3;%指定起止时间
v0=0;
v1=0;%指定起止速度
a0=q0;
a1=v0;
a2=(3/(t1)^2)*(q1-q0)-(1/t1)*(2*v0+v1);
a3=(2/(t1)^3)*(q0-q1)+(1/t1^2)*(v0+v1);%计算三次多项式系数
t=t0:0.01:t1;
q=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;%三次多项式插值的位置
v=a1+2*a2*t+3*a3*t.^2;%三次多项式插值的速度
a=2*a2+6*a3*t;%三次多项式插值的加速度
subplot(3,1,1),plot(t,q),xlabel('t'),ylabel('position');grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v),xlabel('t'),ylabel('velocity');grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a),xlabel('t'),ylabel('accelerate');grid on;

下图为插值结果

4.含经过点的插值

序号	位置	速度	时间
1	0	0	0
2	50	10	3
3	150	20	6
4	100	-15	12
5	0	0	14

clear;
clc;
q_array=[0,50,150,100,0];%指定起止位置
t_array=[0,2,4,8,10];%指定起止时间
v_array=[0,10,20,-15,0];%指定起止速度
t=[t_array(1)];q=[q_array(1)];v=[v_array(1)];a=[0];%初始状态
for i=1:1:length(q_array)-1;%每一段规划的时间
     a0=q_array(i);
     a1=v_array(i);
     a2=(3/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(q_array(i+1)-q_array(i))-(1/(t_array(i+1)-t_array(i)))*(2*v_array(i)+v_array(i+1));
     a3=(2/(t_array(i+1)-t_array(i))^3)*(q_array(i)-q_array(i+1))+(1/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(v_array(i)+v_array(i+1));%计算三次多项式系数 
     ti=t_array(i)+0.001:0.001:t_array(i+1);
     qi=a0+a1*(ti-t_array(i))+a2*(ti-t_array(i)).^2+a3*(ti-t_array(i)).^3;
     vi=a1+2*a2*(ti-t_array(i))+3*a3*(ti-t_array(i)).^2;
     ai=2*a2+6*a3*(ti-t_array(i));
     t=[t,ti];q=[q,qi];v=[v,vi];a=[a,ai];
end
subplot(3,1,1),plot(t,q,'r'),xlabel('t'),ylabel('position');grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v,'b'),xlabel('t'),ylabel('velocity');grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a,'g'),xlabel('t'),ylabel('accelerate');grid on;

PS:这种三次多项式插值，只要给定离散点位置、速度和时间，就能插补出一段连续平滑的曲线。但是角加速度并不连续，下次为大家介绍高阶多项式插值则可以解决这个问题。