ACM 数论

ACM 数论

因为博客上写公式不方便，所以选择了纸上写 懒 ！

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目录

 快速幂

 欧几里得算法

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 快速幂

顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。 —— 《百度百科》

通过将指数转化为二进制的方式，结合位运算加速求幂的过程

思路

代码实现

递归

int quick_pow(int a,int b)
{
    if(b == 0)
        return 1;
    int res = quick_pow(a , b / 2);
    if(b % 2 != 0)
    {
        return res * res * a;
    }
    return res * res;
}

非递归

int quick_pow(int a,int b)
{
    int res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)//若此时b的二进制位为1 ，则需要乘以a的（2的i次方）
        {
            res = res * a;
        }
        a = a * a;//将a的（2的i次方）转化为a的（2的i+1次方）
        b >>= 1;//将判断过后的b的二进制位右移删去
    }
    return res;
}

快速幂取模

有时题目需要对快速幂取模，此时只需要在快速幂的基础上，每次乘法后取一下模即可

int quick_pow(int a,int b,int mod)
{
    int res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            res = res * a % mod;
        }
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

 欧几里得算法

用于给定整数 a, b 求 a 和 b 的最大公约数，也可用于判断两数是否互质，若两数的 gcd 为 1，则两数互质

证明

 

 代码实现

非递归写法

int gcd(int a, int b){
    while(b)
    {
        int tmp = a;
        a = b;
        b = tmp % b;
    }
    return a;
}

递归写法

int gcd(int a, int b){
    //return b == 0 ? a : gcd(b , a % b);//也可以通过这种写法压行，效果是一样的
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd(b , a % b);
}