微积分（四）——多元函数微分总结
文章目录
- 前言
- 多元函数微分学
- (一)概念掌握
- 1）讨论二重极限
- 2）讨论二元函数连续性
- 3）讨论二元函数偏导数
- 4）讨论二元函数可导性
- 5）讨论二元函数可微性
- （二）多元函数微分计算
- 1）具体复合导数
- 2）由偏导数或微分求原函数
- 3）抽象多元函数
- 4）多元隐函数
- （三）极值与最值
- 1）求解无条件极值
- 2）判断特定点是否为极值点
- 3）条件极值最值问题（拉格朗日乘数法) (重点）
- a. 直接求条件最值
- b. 解析几何直接求条件最值
- c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)
- d. 条件极值证明题(最灵活、最难）
前言
本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。
如有缺漏错误，欢迎补充指正！
多元函数微分学
出题角度大概分为三个类型：
- 对多元函数微分各个概念的掌握
- 对多元微分计算的掌握
- 极值与最值
(一)概念掌握
与一元函数微分学相同，学习多元函数微分学将沿着函数→极限→连续→偏导数→可导性→可微性脉络进行学习。出题角度也是从这里面挑一个到多个进行考察。
既然是考查对概念的掌握，所以多为存在性题目，考察的点也多为零点，需要利用各概念的定义进行求解。
1）讨论二重极限
极限形式全部是分数形式，对，我还没有遇到其它形式。但是，有时候（比如判断可微时），可自己构造简单的二元函数，对选项进行排除。
计算二重极限的思路：
- 首先判断二重极限是否存在，利用不同路径判断极限不同或不存在。
- 若判断出不存在，结束。如果第一步不能判断出不存在，继续求解。
- 有界变量和无穷小量之积为无穷小量。
- 夹逼原理，利用基本不等式和带有绝对值的基本不等式放缩。
- 转化或看作一元函数极限，利用一元函数极限方法求解。
2）讨论二元函数连续性
讨论某一点（95%为零点）连续性，利用定义，即二重极限在该否存在且等于该点的函数值和求解二重极限，即可解出。
3）讨论二元函数偏导数
讨论某一点（95%为零点）对于x，y的偏导数是否存在，利用定义，求解一元函数极限，即可解出。
讨论某一点的偏导数是否连续，求出偏导，再讨论偏导数的连续性。
4）讨论二元函数可导性
可导性和偏导数联系紧密，判断可导即判断两个一阶偏导数是否存在。
另外，在多元函数中，可导不一定连续，连续不一定可导，与一元函数中“可导一定连续，连续不一定可导”有差别。
连续定义中的极限为二重极限，即x,y可以从任意方向逼近所要求的点。而可导的定义只要求了对x的偏导和对y的偏导，在其它方向没有要求，所以可导不一定连续。
对于“连续不一定可导”可参照一元函数的方法，将z = |x|视为二元函数，在（0,0）处，对x的偏导不存在，z在（0,0）处不可导。z在（0,0）处的二重极限为0，函数值为0，z在(0,0)处连续。
5）讨论二元函数可微性
可微性是概念中较难重点的一部分，讨论多元函数的可微性，有必要条件、充分条件，但是没有充要条件。讨论可微性主要靠多元函数可微的定义。
必要条件： 两个一阶偏导数在（x,y）处存在。
充要条件： 两个一阶偏导数（x,y）处连续。
定义：
（二）多元函数微分计算
1）具体复合导数
- 偏导数就把多元函数看作一元函数求解。
- 如果是特定点的高阶偏导，可以在适当的阶段带入非微分变量具体值，简化计算。
- 同一函数的两个混合偏导数如果在点(x,y)都连续，那么混合偏导数相等。这是一个很常用的结论，经常在全微分证明题中使用。
- 在全微分中，可以用第三点求解待定系数。
2）由偏导数或微分求原函数
- 逐步求积分，结合题中所给的条件求解。
- 唯一需要注意的一点是求积分时，如果对y求积分，积分后的常数项应为φ(x)。
3）抽象多元函数
- 间接变量和直接变量直接给出的情况，分析变量之间的关系，画出树形图，利用树形图和链式法则求偏导。
- 间接变量和直接变量没有直接给出的情况，分析各变量之间的关系，必要时交换直接和间接变量或改写原函数中的u,v。一般来说，如果偏导数中对ξ,η变量进行微分，ξ,η应是树形图中的叶节点。
- 因为是抽象微分，常常与微分方程相联系。
- 抽象利用求偏微分公式，与题目中提供的条件一起，证明某些结论(难点)。
4）多元隐函数
如果F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，多元函数类似。
隐函数求偏导主要有以下三种方式：
- 利用隐函数求导公式（简洁但容易漏变量之间的关系，只适用于 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式，且求解形式不涉及第4个变量，比如 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy、 d z d x \frac{dz}{dx} dxdz)
- 方程两段求导，解出所求偏导数（同上，适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z)和 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,求解形式一般涉及等号左边的变量，比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu）
- 利用微分形式不变性，方程两端微分（相对麻烦但不容易漏掉条件，适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z)和 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式.,求解形式一般涉及等号左边的变量，比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu）
使用哪一种方式与搞清楚各变量是否相关相比显得不是很重要。
- 如果一个等式中只涉及两个变量，那么必定相关。比如 f ( x , y ) = 0 {f(x,y) = 0} f(x,y)=0, f {f} f对 x x x求导为 f f f 1 ′ + f 2 ′ d x d y _{1}^{'}+f_{2}^{'}\frac{dx}{dy} 1′+f2′dydx.
- 同理，涉及三个变量的两个等式，可以确定任意变量对其它变量的一元函数。
- 如果变量和等式继续增多，一般性方法便是画复合函数中的树形图，帮助理解。
- 在抽象函数中，变量之间是否相关同样取决于题目中所要求的量。比如函数x+y+z+u = 0，如果题目中给的是 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z)，求 d u du du,那么x,y,z就没有相关关系，u分别与x,y,z有相关关系；如果题目中给的是 z = f ( x , y , u ) {z = f(x,y,u)} z=f(x,y,u)，求 d z dz dz，这种情况下x,y,u就没有相关关系，z分别与x,y,z有相关关系。
（三）极值与最值
1）求解无条件极值
求多元函数无条件极值的步骤比较固定，且函数为二元函数且类似 z = z ( x , y ) , z = f ( x , y ) z= z(x,y),z =f(x,y) z=z(x,y),z=f(x,y)形式，可能为复合函数或隐函数。
以 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)为例
- 令 f x ′ = 0 , f y ′ = 0 f_{x}^{'} = 0,f_{y}^{'} = 0 fx′=0,fy′=0,求得所有驻点
- 对每个驻点求出二阶偏导数 A = f x x ′ ′ , B = f x y ′ ′ , C = f y y ′ ′ A = f_{xx}^{''} ,B = f_{xy}^{''} ,C = f_{yy}^{''} A=fxx′′,B=fxy′′,C=fyy′′
- 利用极值的充分条件，通过 A C − B 2 AC-B^2 AC−B2的正负和 A A A的正负判断驻点是否为极值（只适用于二元函数）
- 如果 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 AC−B2=0,则利用极值的定义判断是否为极值
2）判断特定点是否为极值点
这种题型涉及极限和多元极值的定义，利用极限可构造 f ( x , y ) = 表 达 式 + o ( p ) f(x,y) = 表达式 + o(p) f(x,y)=表达式+o(p)形式，帮助判断。
3）条件极值最值问题（拉格朗日乘数法) (重点）
a. 直接求条件最值
利用拉格朗日乘数法
b. 解析几何直接求条件最值
- 求出所有可能极值点（驻点和一阶偏导不存在的点）的函数值
- 求出有界闭区域边界上的最值
- 第一步第二步的所有值进行比较，最大的值即为最大值，最小即为最小值
c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)
确定目标函数，将题目中的条件与最值上靠，只要建立起函数与条件函数，接下来就是用拉格朗日乘数法求最值。如果解只有一个，并且问题本身允许极值存在，那么所求最值就在这个唯一可能取得极值的点上取得。
d. 条件极值证明题(最灵活、最难）
利用拉格朗日乘数法证明不等式，难点在于证明不等式有多种方法，思考的时候不会一开始就想到条件极值。另外就是目标函数和条件函数也需自己构造。
关于条件极值的应用题和证明题还比较生疏，包括上一节常微分方程的应用题，需要进行专题复习。