bzoj4530 [Bjoi2014]大融合（LCT维护子树大小）

Description

小强要在N个孤立的星球上建立起一套通信系统。这套通信系统就是连接N个点的一个树。

这个树的边是一条一条添加上去的。在某个时刻，一条边的负载就是它所在的当前能够联通的树上路过它的简单路径的数量。

例如，在上图中，现在一共有了5条边。其中，(3,8)这条边的负载是6，因为有六条简单路径2-3-8,2-3-8-7,3-8,3-8-7,4-3-8,4-3-8-7路过了(3,8)。

现在，你的任务就是随着边的添加，动态的回答小强对于某些边的负载的询问。

Input

第一行包含两个整数N,Q，表示星球的数量和操作的数量。星球从1开始编号。

接下来的Q行，每行是如下两种格式之一：

A x y 表示在x和y之间连一条边。保证之前x和y是不联通的。

Q x y 表示询问(x,y)这条边上的负载。保证x和y之间有一条边。

1≤N,Q≤100000

Output

对每个查询操作，输出被查询的边的负载。

Sample Input

A 2 3

A 3 4

A 3 8

A 8 7

A 6 5

Q 3 8

Sample Output

6

分析:
这道题的答案显然是：
这条边连接的两棵子树大小的乘积
但是我们需要在一棵LCT上维护子树大小
LCT维护子树信息

在LCT中的splay中，expose某个点并splay到根，
那么ta的实儿子记录的信息是这条链的信息，并不是我们想要的子树信息

而所有实儿子和虚儿子的信息才是我们想要求的子树信息

但是由于虚儿子“儿子认爹，爹不认儿子”的性质，无法在update的时候上传信息

事实上，我们注意到，对于LCT所有基本操作，只有expose和link会对虚儿子的信息进行修改
那么我们每次在添加虚儿子时，顺便把虚儿子的信息也记录到父亲节点中
这样我们每次调用一个节点时，将ta实儿子的信息，加上ta的虚儿子的信息以及ta自身的信息，就是我们想要的子树信息

我们对于每个节点记录两个信息：
ta的总信息size和ta虚儿子的信息sz，
update时更新x的size为：x实儿子的size+x虚儿子的size+x本身的信息

---

口hu到这里就结束了，下面就是喜闻乐见的代码细节处理：

我们的主体操作并没有太大改变
我用size存储LCT子树的信息（x结点实儿子，虚儿子以及ta本身的信息），sz储存的是虚儿子的信息

update

void update(int bh)
{
    if (!bh) return;
    size[bh]=size[ch[bh][0]]+size[ch[bh][1]]+sz[bh]+1;
}

expose

expose(x)中有一个换儿子的操作
由于size我们是可以在update中维护的，所以我们只需要实时维护sz
我们需要把原先右儿子的信息加入x的虚儿子信息中，把t（新儿子）的信息从x的虚儿子信息中删除

void expose(int bh)
{
    int t=0;
    while (bh)
    {
        splay(bh);

        sz[bh]+=size[ch[bh][1]]-size[t];
        //x原来的右儿子的LCT子树信息加入x的虚子树信息，
        //把x的新的右儿子的LCT子树信息从x的虚子树信息中减去

        ch[bh][1]=t;
        update(bh);
        t=bh;
        bh=pre[bh];
    }
}

link

朴素的link是这样的：

void link(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    pre[x]=y;
}

但是为了方便起见，我们需要把y的信息也弄到一个结点上

最简单的方法就是makeroot(y)，

这样y就成了ta所在的连通块的根，显然连通块的信息也都集中在了ta的size上
我们只需要把x的信息统计入y的虚子树信息中，update一下y，这样就完成了link操作

void link(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    makeroot(y);
    pre[x]=y;
    sz[y]+=size[x];    //把x的信息统计入y的虚子树信息中
    update(y);
}

询问子树大小

我们所求的答案就是一条边两端点的子树大小乘积，
我们把某一个端点定为整棵树的根，可以知道整棵树的大小，
而根据另一个节点可以知道一个子树的大小，相减即为另一个子树的大小

makeroot(x);
makeroot(y);
printf("%lld\n",(ll)size[x]*(size[y]-size[x]));

tip

注意，最后的答案需要开ll
size[x]存的是LCT子树大小，sz[x]存的是虚儿子信息（子树除了链以外的大小），不要弄混
我们在处理信息的时候，为了方便起见，直接makeroot(x)即可

#include
#include
#include
#define ll long long

using namespace std;

const int N=100010;
int ch[N][2],q[N],pre[N],size[N],sz[N];   //sz储存的是虚儿子的信息 
bool rev[N];
int n,Q;

int get(int bh)
{
    return ch[pre[bh]][0]==bh? 0:1;
}

int isroot(int bh)
{
    return ch[pre[bh]][0]!=bh&&ch[pre[bh]][1]!=bh;
}

void update(int bh)
{
    if (!bh) return;
    size[bh]=size[ch[bh][0]]+size[ch[bh][1]]+sz[bh]+1;
}

void push(int bh)
{
    if (!bh) return;
    if (rev[bh])
    {
        if (ch[bh][0]) rev[ch[bh][0]]^=1;
        if (ch[bh][1]) rev[ch[bh][1]]^=1;
        swap(ch[bh][0],ch[bh][1]);
        rev[bh]^=1;
    }
}

void rotate(int bh)
{
    int fa=pre[bh];
    int grand=pre[fa];
    int wh=get(bh);
    if (!isroot(fa)) ch[grand][ch[grand][0]==fa? 0:1]=bh;
    pre[bh]=grand;
    ch[fa][wh]=ch[bh][wh^1];
    pre[ch[fa][wh]]=fa;
    ch[bh][wh^1]=fa;
    pre[fa]=bh;
    update(fa);
    update(bh);
}

void splay(int bh)
{
    int top=0;
    q[++top]=bh;
    for (int i=bh;!isroot(i);i=pre[i])
        q[++top]=pre[i];
    while (top) push(q[top--]);
    for (int fa;!isroot(bh);rotate(bh))
        if (!isroot(fa=pre[bh]))
            rotate(get(bh)==get(fa)? fa:bh);
}

void expose(int bh)
{
    int t=0;
    while (bh)
    {
        splay(bh);

        sz[bh]+=size[ch[bh][1]]-size[t];
        //x原来的右儿子的LCT子树信息加入x的虚子树信息，
        //把x的新的右儿子的LCT子树信息从x的虚子树信息中减去

        ch[bh][1]=t;
        update(bh);
        t=bh;
        bh=pre[bh];
    }
}

void makeroot(int bh)
{
    expose(bh);
    splay(bh);
    rev[bh]^=1;
}

void link(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    makeroot(y);
    pre[x]=y;
    sz[y]+=size[x];
    update(y);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&Q);
    for (int i=1;i<=n;i++) size[i]=1;
    char s[20];
    for (int i=1;i<=Q;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%s",s);
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if (s[0]=='A')
            link(x,y);
        else {
            makeroot(x);
            makeroot(y);       //y是最后的根，所以size[y]>size[x] 
            printf("%lld\n",(ll)size[x]*(size[y]-size[x]));
        }
    }
    return 0;
}