二次剩余

给定两个数 n,P , P 为一个质数，且 n<P ，求一个 x ，使得 x2≡n(mod P)

下面所有的运算都在 mod P 意义下进行。

首先我们要判断是否有解。

根据勒让德记号，我们有 nP−12=±1 ，并且上述问题有解当且仅当 nP−12=1

设 a ，满足 w=a2−n ， w 对于 P 不是二次剩余。这个 a 直接随机就好了。

那么最终我们有 x=(a+w−−√)P+12

问题是 w−−√ 不存在，我们将 w−−√ 如同虚数 i 一样设定，那么由于最终 x 是一个实数，所以直接当虚数来做快速幂最终取实根即可。

证明：
x=(a+w−−√)P+12
x2=(a+w−−√)P+1=(a+w−−√)P∗(a+w−−√)

由二项式定理得：
(a+w−−√)P=∑Pk=0CkP∗ak∗(w−−√)P−k

又由于当 0<k<P 时， CkP mod P=0 ，所以

(a+w−−√)P=aP+(w−−√)P

又由费马小定理 aP−1=1,wP−12=w−−√P−1=−1

所以

(a+w−−√)P=a−w−−√

所以 x2=(a−w−−√)(a+w−−√)=a2−w=n

得证