常见的积性函数与狄利克雷卷积

除数函数: σ x ( n ) = ∑ d ∣ n d x \sigma_x(n)=\sum_{d|n}d^x σx(n)=dndx
约数个数函数: d ( n ) = ∑ d ∣ n 1 d(n)=\sum_{d|n}1 d(n)=dn1
约数和函数: σ ( n ) = ∑ d ∣ n d \sigma(n)=\sum_{d|n}d σ(n)=dnd
元函数: e ( n ) = [ n = = 1 ] e(n)=[n==1] e(n)=[n==1] ( { 1 , 0 , 0 , 0 , 0..... } ) (\{1,0,0,0,0.....\}) ({1,0,0,0,0.....})
恒等函数: I ( n ) = 1 I(n)=1 I(n)=1 ( { 1 , 1 , 1 , 1 , 1..... } ) (\{1,1,1,1,1.....\}) ({1,1,1,1,1.....})
单位函数: ε ( n ) = n \varepsilon(n)=n ε(n)=n ( { 1 , 2 , 3 , 4 , 5..... } ) (\{1,2,3,4,5.....\}) ({1,2,3,4,5.....})
欧拉函数: ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)
莫比乌斯函数: μ ( n ) \mu(n) μ(n)

tp:所有的积性函数基本都可以线性筛

性质:两个积性函数的狄利克雷卷积任然是积性函数
的理科类卷积运算律
结合律: ( f ∗ g ) ∗ h = f ∗ ( g ∗ h ) (f*g)*h=f*(g*h) (fg)h=f(gh)
交换律: f ∗ g = g ∗ f f*g=g*f fg=gf
单位元:存在单位函数 ε \varepsilon ε使得 f ( x ) ∗ ε = f ( x ) f(x)*\varepsilon=f(x) f(x)ε=f(x)
封闭性:数论函数的狄利克雷卷积仍然是数论函数

常见的狄利克雷卷积(很有用)

ε = ϕ ∗ I ⇔ n = ∑ d ∣ n ϕ ( d ) \varepsilon = \phi *I \Leftrightarrow n= \sum_{d|n} \phi(d) ε=ϕIn=dnϕ(d)
d = I ∗ I ⇔ d ( n ) = ∑ d ∣ n 1 d=I*I \Leftrightarrow d(n)=\sum_{d|n}1 d=IId(n)=dn1
σ = ε ∗ I ⇔ σ ( n ) = ∑ d ∣ n d \sigma = \varepsilon*I \Leftrightarrow \sigma(n)=\sum_{d|n}d σ=εIσ(n)=dnd
e = I ∗ μ ⇔ [ n = = 1 ] = ∑ d ∣ n μ ( d ) e=I*\mu \Leftrightarrow [n==1]=\sum_{d|n}\mu(d) e=Iμ[n==1]=dnμ(d)
ϕ = ε ∗ μ ⇔ ϕ ( n ) ∑ d ∣ n μ ( d ) ∗ n d \phi=\varepsilon*\mu \Leftrightarrow \phi(n)\sum_{d|n}\mu(d)*\frac{n}{d} ϕ=εμϕ(n)dnμ(d)dn

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