常见的积性函数与狄利克雷卷积

除数函数：${\sigma }_x(n)={\sum }_{d|n}{d}^x$
约数个数函数：$d(n)={\sum }_{d|n}1$
约数和函数：$\sigma (n)={\sum }_{d|n}d$
元函数：$e(n)=[n==1]$ $(\{1,0,0,0,0.....\})$
恒等函数：$I(n)=1$ $(\{1,1,1,1,1.....\})$
单位函数：$\epsilon (n)=n$ $(\{1,2,3,4,5.....\})$
欧拉函数：$\varphi (n)$
莫比乌斯函数：$\mu (n)$

tp:所有的积性函数基本都可以线性筛

性质：两个积性函数的狄利克雷卷积任然是积性函数
的理科类卷积运算律
结合律：$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$
交换律：$f\ast g=g\ast f$
单位元：存在单位函数$\epsilon$使得$f(x)\ast \epsilon =f(x)$
封闭性：数论函数的狄利克雷卷积仍然是数论函数

常见的狄利克雷卷积（很有用）

$\epsilon =\varphi \ast I\iff n={\sum }_{d|n}\varphi (d)$
$d=I\ast I\iff d(n)={\sum }_{d|n}1$
$\sigma =\epsilon \ast I\iff \sigma (n)={\sum }_{d|n}d$
$e=I\ast \mu \iff [n==1]={\sum }_{d|n}\mu (d)$
$\varphi =\epsilon \ast \mu \iff \varphi (n){\sum }_{d|n}\mu (d)\ast \frac{n}{d}$