【XSY1295】calc $n$个点$n$条边无向连通图计数 prufer序列

题目大意

　　求 n 个点 n 条边的无向连通图的个数

　　 n≤5000

题解

　　显然是一个环上有很多外向树。

　　首先有一个东西： n 个点选 k 个点作为树的根的生成森林个数为：

(nk)×nn−k−1×k

　　前面 (nk) 是这些根的选编号的方案数，后面是prufer序列得到的：前面 n−k−1 个数可以是 1 ~ n ，第 n−k 个数是 1 ~ k 。

　　我的理解是：每个序列决定了一部分点作为”叶子节点”，剩下的每个点按顺序选一个编号最小的”叶子节点”作为这个点的儿子（选编号最小的是因为1.如果一个点可以选多个儿子就不会重复计数；2.两个数的先后顺序不同，那么选的儿子也不同，会让先后顺序成为影响因素），然后如果这个点不能再选儿子，那么这个点就会成为”叶子节点”。选了 n−k−1 个点后会剩下 k 个根和一个不是根的点，然后 k 个根中的一个点连向剩下这个点。

　　最后 k 个点的环的排列方式有 (k−1)!2 。你可以选编号最小的点为”根”，剩下 k−1 个点每次选一个点连向上一个点，最后一个点再连向第一个点。因为环可以翻转，所以方案数要除以 2 。你也可以认为是先生成一个排列，然后旋转这个环（除以 k ），然后翻转这个环（除以 2 ）。

　　最终的式子是

     ∑k=3n(nk)×nn−k−1×k×(k−1)!2=∑k=3nn!×nn−k−1×k×(k−1)!k!×(n−k)!×2=∑k=3nn!nn−k−12(n−k)!

　　写个高精度什么的乱搞一下就可以了。

　　时间复杂度： O(n2)

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int p=10000;
struct bign
{
    int a[5010];
    bign()
    {
        memset(a,0,sizeof a);
    }
    int &operator [](int x)
    {
        return a[x];
    }
    bign &operator *=(int v)
    {
        int i,s,g=0;
        bign &a=*this;
        for(i=1;i<=5000;i++)
        {
            s=g+a[i]*v;
            g=s/p;
            a[i]=s%p;
        }
        return a;
    }
    bign &operator /=(int v)
    {
        int i,s,g=0;
        bign &a=*this;
        for(i=5000;i>=1;i--)
        {
            s=g*p+a[i];
            a[i]=s/v;
            g=s%v;
        }
        g=0;
        for(i=1;i<=5000;i++)
        {
            s=g+a[i];
            a[i]=s%p;
            g=s/p;
        }
        return a;
    }
    bign &operator +=(bign &b)
    {
        int i,s,g=0;
        bign &a=*this;
        for(i=1;i<=5000;i++)
        {
            s=a[i]+b[i]+g;
            a[i]=s%p;
            g=s/p;
        }
        return a;
    }
};
bign a,ans;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i;
    a[1]=1;
    for(i=2;i<=n-1;i++)
        a*=i;
    ans+=a;
    for(i=n-1;i>=3;i--)
    {
        a*=n;
        a/=n-i;
        ans+=a;
    }
    ans/=2;
    for(i=5000;!ans[i];i--);
    printf("%d",ans[i]);
    for(i--;i;i--)
        printf("%04d",ans[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}