计算机视觉——DoG和LoG算子

计算机视觉—DoG和LoG算子

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       阅读本文，需要有一定的数字图像处理基础，否则不太容易明白数学公式想要传达的物理意义。希望通过仅此一篇文章就能让你理解图像处理中的高斯滤波（也叫高斯平滑、高斯模糊、高斯卷积）、DoG算子、LoG算子，以及它们之间的关系。下面先讲理论，再讲实际应用。在理论部分，一切语言都显得过于苍白，因此我只给出了最核心的、最简单的、最优美的公式，当然包括一些必要的推导过程。

理 论 篇

1、高斯函数

       在图像处理中，常用的二维高斯函数为

G(x,y,σ)=12πσ2e−(x2+y2)/2σ2

2、DoG算子

       DoG （ Difference of Gaussian ）算子定义为

DoG=G(x,y,σ1)−G(x,y,σ2)

3、LoG算子

       拉普拉斯算子为

∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2

       对二维高斯函数应用拉普拉斯算子得

∇2G=∂2G∂x2+∂2G∂y2=−2σ2+x2+y22πσ6e−(x2+y2)/2σ2

       LoG （ Laplacian of Gaussian ）算子定义为

LoG=σ2∇2G

4、DoG和LoG的关系

       对二维高斯函数关于 σ 求一阶偏导数得

∂G∂σ=−2σ2+x2+y22πσ5e−(x2+y2)/2σ2

       不难发现

∂G∂σ=σ∇2G

       在 DoG 算子中，令 σ1=kσ2=kσ ，则

DoG=G(x,y,kσ)−G(x,y,σ)

       进一步地

∂G∂σ=limΔσ→0G(x,y,σ+Δσ)−G(x,y,σ)(σ+Δσ)−σ≈G(x,y,kσ)−G(x,y,σ)kσ−σ

       因此

σ∇2G=∂G∂σ≈G(x,y,kσ)−G(x,y,σ)kσ−σ

       即

G(x,y,kσ)−G(x,y,σ)≈(k−1)σ2∇2G

       这表明 可以用 DoG 算子来近似 LoG 算子。

应 用 篇

1、计算高斯卷积模板

#include 
#include 

using namespace std;

#define PI 3.1415926

int main(int argc, char *argv[])
{
    double sigma = 1;
    int N = 2*ceil(3*sigma)+1;
    double *val = new double[N*N];
    int R = N/2;
    for(int i = 0; i < N; i++)
    {
        for(int j = 0; j < N; j++)
        {
            double r = (i-R)*(i-R)+(j-R)*(j-R);
            double res = exp(-r/(2*sigma*sigma));
            res = res/(2*PI*sigma*sigma);
            val[i*N+j] = res;
        }
    }
    delete []val;
    return 0;
} 

下图就是该段代码生成的 5x5 的高斯模板

       在图像处理中，为了提升计算速度，通常会牺牲少部分计算精度，使用整数模板代替浮点数模板。常见的 3x3 和 5x5 整数模板为

116⎡⎣⎢⎢121242121⎤⎦⎥⎥,1273⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1474141626164726412674162616414741⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

2、快速计算高斯卷积

       由于高斯函数可以写成可分离的形式，因此可以采用可分离滤波器来实现加速。 可分离滤波器，就是可以把一个多维的卷积转化成多个一维的卷积。具体到二维的高斯滤波，就是指先对行做一维卷积，再对列做一维卷积。这样就可以将计算复杂度从O(M*M*N*N)降到O(2*M*M*N)，M、N分别是图像和滤波器的窗口大小。

3、DoG算子应用

       在理论上

DoG(x,y,σ1,σ2)∗I(x,y)=G(x,y,σ1)∗I(x,y)−G(x,y,σ2)∗I(x,y)

       因此，实际计算中，只需要先对输入图像作2个不同尺度的高斯平滑，然后将两幅图像相减，非常简单！

4、公式推导——符号计算

       在理解算法原理的时候，难免要进行公式推导。事实上，本文涉及的公式，不全是作者自己推导出来的，例如，求偏导数的公式就是计算机辅助完成的，虽然偷了个懒，但可以快速验证自己的理解是否正确，效率挺高。常见的符号计算工具有MATLAB，但本人使用的是Mac，没装MATLAB，无意间发现有一个Python包 SymPy可以进行符号计算，而且可以将结果导出为LaTeX格式，非常赞，强烈推荐！下面是一段示例代码

from sympy import *

x, y, s, pi, k = symbols('x,y,s,pi,k')

G_0 = 1/(2*pi*s**2) * exp(-(x**2+y**2)/(2*s**2)) 

ff = diff(G_0, s, 1)
gg = diff(G_0, x, 2) + diff(G_0, y, 2)

print latex(together(ff))
print latex(together(gg))