字符串搜索之Rabin-Karp 算法（伪代码）

最近在听哈尔滨工业大学王宏志老师的《算法设计与分析》这门课，感觉受益匪浅。今天就记录一下有关字符串搜索的Rabin-Karp 算法。

基于指纹的算法
• 令字母表位 S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
• 令指纹为一个十进制数, 即, f(“1045”) = 1*10^3 + 0*10^2 +4*10^1  + 5 = 1045
Fingerprint-Search(T,P)
01 fp <- compute f(P)
02 f <- compute f(T[0..m–1])
03 for s <- 0 to n – m do
04 if fp = f return s
05 f <- (f – T[s]*10^(m-1) )*10 + T[s+m]    //这步可以好好利用！！
06 return -1
 运行时间是 2O(m) + O(n–m) = O(n)!

使用Hash 函数
• 问题: 我们不能假设我们可以对m位数在O(1)时间
内进行算术运算
• 解决方案: 使用hash函数 h = f mod q
– 例如, 如果 q = 7, h(“52”) = 52 mod 7 = 3
– h(S 1 ) <> h(S 2 ) =>S 1 <> S 2
– 但 h(S 1 ) = h(S 2 ) 不意味着 S 1 =S 2 !
• 例如, 如果 q = 7, h(“73”) = 3, 但 “73” <>“52”
• 但 “mod q” 算术运算:
– (a+b) mod q = (a mod q + b mod q) mod q           //这步可以好好利用！！
– (a*b) mod q = (a mod q)*(b mod q) mod q

预处理与步骤
• 预处理:
– fp = P[m-1] + 10*(P[m-2] + 10*(P[m-3]+ … + 10*(P[1] + 10*P[0])…)) mod q    //这步可以好好利用！！
– 同样地可以从T[0..m-1] 计算 ft
– 例如: P = “2531”, q = 7, fp是多少?
• 步骤:
– ft = (ft – T[s]*10 m-1  mod q)*10 + T[s+m]) mod q
– 10 m-1  mod q 在预处理中计算一次
– 例: Let T[…] = “5319”, q = 7, 对应的 ft是多少?

Rabin-Karp 算法
Rabin-Karp-Search(T,P)
01 q <- a prime larger than m
02 c <- 10^(m-1) mod q       // run a loop multiplying by 10 mod q
03 fp <- 0; ft <- 0
04 for i <- 0 to m-1         // preprocessing
05 fp <- (10*fp + P[i]) mod q
06 ft <- (10*ft + T[i]) mod q
07 for s <- 0 to n – m     // matching
08 if fp = ft then              // run a loop to compare strings
09 if P[0..m-1] = T[s..s+m-1] return s
10 ft <- ((ft – T[s]*c)*10 + T[s+m]) mod q
11 return  –1
 如果T = “2531978”, P = “1978”需要比较字符多少次?