网络流二十四题之六 —— 最长不下降子序列问题（ALIS）

最长不下降子序列问题

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Description

给定正整数序列 x1,…,xn 。
（1）计算其最长不下降子序列的长度 s 。
（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为 s 的不下降子序列。
（3）如果允许在取出的序列中多次使用 x1 和 xn ，则从给定序列中最多可取出多少个长
度为 s 的不下降子序列。

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Input

文件第 1 行有 1 个正整数 n ，表示给定序列的长度。
接下来的 1 行有 n 个正整数 x1,…,xn 。

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Output

程序运行结束时，将任务（1）（2）（3）的解答输出。
第 1 行是最长不下降子序列的长度 s 。
第 2 行是可取出的长度为 s 的不下降子序列个数。
第 3 行是允许在取出的序列中多次使用 x1 和 xn 时可取出的长度为 s 的不下降子序列个数。

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Sample Input

4
3 6 2 5

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Sample Output

2
2
3

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Solution

第一问用动态规划。因为数据规模不大， O(n2) 可以过。

第二问用网络流。
若存在 j>i ，并且 fj=fi+1 （ fi 表示以 i 为结束的最长不下降子序列的长度），那么将 i 与 j 连一条边。
连接 i 与 s ，当 fi=1 。
连接 i 与 t ，当 fi=ans1 。
求最大流即可。

第三问，将第一个点和最后一个点连的边的权值设为 ∞ 即可。

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Code

#include
#include
#include
#include

#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define ss 0
#define tt 900
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

int n,ans1,cnt;
int s[1000];
int f[1000];
int head[1000];
int nxt[1000010];
int data[1000010];
int flow[1000010];
int dis[1000];
queue<int>q;

void add(int x,int y,int z){
    nxt[cnt]=head[x];data[cnt]=y;flow[cnt]=z;head[x]=cnt++;
    nxt[cnt]=head[y];data[cnt]=x;flow[cnt]=0;head[y]=cnt++;
}

bool BFS(){
    memset(dis,-1,sizeof dis);
    dis[ss]=0;
    q.push(ss);
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[now];i!=-1;i=nxt[i]){
            if(flow[i]&&dis[data[i]]==-1){
                q.push(data[i]);
                dis[data[i]]=dis[now]+1;
            }
        }
    }
    return dis[tt]>0;
}

int dfs(int now,int low){
    if(now==tt)return low;
    int Low;
    for(int i=head[now];i!=-1;i=nxt[i]){
        if(flow[i]&&dis[data[i]]==dis[now]+1){
            if(Low=dfs(data[i],Min(low,flow[i]))){
                flow[i]-=Low;
                flow[i^1]+=Low;
                return Low;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main(){
    freopen(”alis.in”,“r”,stdin);
    freopen(”alis.out”,“w”,stdout);
    scanf(”%d”,&n);
    memset(head,-1,sizeof head);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf(“%d”,&s[i]);
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        f[i]=1;
        for(int j=1;j
            if(s[i]>=s[j])f[i]=Max(f[i],f[j]+1);
        ans1=Max(ans1,f[i]);
    }
    printf(”%d\n”,ans1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(f[i]==1)add(ss,i,1);
        if(f[i]==ans1)add(i,tt,1);
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(f[j]==f[i]+1&&s[j]>=s[i])add(i,j,1);
    }
    int flag,ans2=0;
    while(BFS())
        while(flag=dfs(ss,INF))ans2+=flag;
    printf(”%d\n”,ans2);
    if(ans1==1){
        printf(”%d\n”,ans2);
        return 0;
    }
    cnt=0;
    memset(head,-1,sizeof head);
    memset(data,0,sizeof data);
    memset(nxt,0,sizeof nxt);
    memset(flow,0,sizeof flow);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(f[i]==1){
            if(i!=1&&i!=n)
                add(ss,i,1);
            else add(ss,i,INF);
        }
        if(f[i]==ans1){
            if(i!=1&&i!=n)
                add(i,tt,1);
            else add(i,tt,INF);
        }
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(f[j]==f[i]+1&&s[j]>=s[i]){
                if(ans1==2&&i==1&&j==n){
                    add(i,j,1);
                    continue;
                }
                if(i==1||i==n||j==1||j==n)
                    add(i,j,INF);
                else add(i,j,1);
            }
    }
    int ans3=0;
    while(BFS())
        while(flag=dfs(ss,INF))ans3+=flag;
    printf(”%d\n”,ans3);
    return 0;
}